TEOREMA DI DE L’HÔPITAL

Il teorema di de l’Hôpital, noto anche come teorema di de l’Hôspital, è un teorema che riguarda i limiti di funzioni reali di variabile reale. Esso consente di calcolare il limite di un rapporto di funzioni, prendendo in considerazione il limite del rapporto tra la derivata del numeratore e la derivata del denominatore, a patto che siano soddisfatte alcune ipotesi.

Tra le tecniche utilizzate per il calcolo dei limiti, vi è quella dell’utilizzo del teorema di de l’Hôpital. Tale regola è accessibile a tutti gli studenti, in quanto fornisce un criterio semplice. Tuttavia, è importante notare che la dimostrazione del teorema è piuttosto complessa e non viene richiesta alle scuole superiori. Per questo motivo, è presente una pagina dedicata alla dimostrazione, cui si può accedere durante la spiegazione.

Il Teorema di de l’Hôpital

Introduzione

Il Teorema di de l’Hôpital è uno strumento matematico utilizzato per calcolare limiti indeterminati, in cui il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero o entrambi all’infinito. Esso è stato scoperto dal matematico svizzero Guillaume de l’Hôpital nel 1696.

Enunciato

Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili su un intervallo (a,b), con a e b valori finiti o infiniti. Supponiamo che:

1. la derivata di g(x) non sia mai nulla sull’intervallo considerato;
   g'(x) ≠ 0 ∀ x∈(a,b)
2. Il limite da destra per x → a⁺ del rapporto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore esista, finito o infinito
   lim_{(x → a⁺)}(f'(x))/(g'(x)) = ell∈R ; oppure ;±∞
3. Se inoltre il limite da destra del rapporto tra f(x) e g(x) genera una forma indeterminata del tipo zero su zero o infinito su infinito
   lim_{(x → a⁺)}(f(x))/(g(x)) = [(0)/(0)] ; oppure ; [(∞)/(∞)]

allora (tesi) esiste il limite da destra del rapporto delle due funzioni, e vale la relazione

lim_{(x → a⁺)}(f(x))/(g(x)) = lim_{(x → a⁺)}(f'(x))/(g'(x))

Nel caso del limite da sinistra per x → b^– vale un enunciato del tutto analogo.

Esempio

Calcoliamo il seguente limite indeterminato utilizzando il Teorema di de l’Hôpital:

lim_{(x → 0⁺)}(e^x-1)/(x)

Applichiamo il Teorema di de l’Hôpital:

1. La derivata di g(x), ovvero 1, non è mai nulla sull’intervallo considerato.
2. Il limite da destra per x → 0⁺ del rapporto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore esiste ed è uguale a 1:
   lim_{(x → 0⁺)}(e^x)/(1) = 1
3. Il limite da destra del rapporto tra e^x-1 e x genera una forma indeterminata del tipo 0/0:
   lim_{(x → 0⁺)}(e^x-1)/(x) = [(0)/(0)]

Quindi, per il Teorema di de l’Hôpital, il limite cercato

Teorema di Hopital – Spiegazione ed esempi di applicazione – YouTube

Come usare il teorema di De l’Hôpital con i limiti

Il teorema di De l’Hôpital fornisce un metodo pratico di calcolo dei limiti, ed è suddiviso in due parti: la prima riguarda l’esistenza del limite, mentre la seconda fornisce il metodo di calcolo.

Per usare il teorema di De l’Hôpital, dobbiamo assicurarci che il limite
lim_(x → x_0)(f(x))/(g(x))
sia una forma indeterminata di tipo [(0)/(0)] oppure [(∞)/(∞)]. Inoltre, le funzioni f(x) e g(x) devono essere differenziabili e il denominatore deve avere la derivata non nulla sull’intervallo scelto.

Scegliamo l’intervallo in base al valore di x_0: se x_0 = +∞, scegliamo l’intervallo (a,+∞); se x_0 = -∞, scegliamo l’intervallo (-∞,b); se invece x_0 è un valore finito, dobbiamo scegliere due intervalli (b_1,x_0) e (x_0,b_2) in modo da individuare il punto x_0 cui tende la x nel limite.

Dopo aver verificato che il limite sia una forma indeterminata di tipo [(0)/(0)] oppure [(∞)/(∞)] e che le funzioni siano differenziabili, possiamo calcolare il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore:
lim_(x → x_(0))(f'(x))/(g'(x))

Se questo nuovo limite esiste finito o infinito, allora il valore del limite di partenza è uguale al valore del limite appena calcolato. Se il nuovo limite non è sufficientemente semplice, possiamo riapplicare il teorema di De l’Hôpital alle derivate di f(x) e g(x) finché non troviamo un limite semplice.

Quando usare il teorema di De l’Hôpital

Il teorema di De l’Hôpital è un metodo utile quando non abbiamo alternative più semplici come limiti notevoli o trucchi algebrici. È importante controllare se le ipotesi richieste dal teorema sono soddisfatte, come la forma indeterminata [(0)/(0)] oppure [(∞)/(∞)], la differenziabilità delle funzioni, e la non nullità della derivata del denominatore sull’intervallo scelto.

Fonte: YouMath

Esempi sul Teorema di De l’Hôpital

Esempio A

Consideriamo il limite
lim_{(x → +∞)}(1+(1)/(2x))^(3x^2).
Non possiamo scrivere la funzione come un rapporto di funzioni che divergano all’infinito. In questo caso, abbiamo la forma di indecisione [1^(∞)], e non possiamo usare il Teorema di De l’Hôpital.

Esempio B

Consideriamo il limite
lim_{(x → (π)/(2))}(1-sin(x))/(cos(x)).
In questo caso, possiamo applicare il teorema perché:

• la forma di indecisione è [(0)/(0)]
• le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili su tutto l’asse reale, quindi possiamo scegliere l’insieme (a,(π)/(2)) U ((π)/(2),b) del teorema a nostro piacimento;
• infine, per fare in modo che la derivata del denominatore g(x) (g'(x) = -sin(x)) non sia mai nulla sull’insieme scelto, ci basta considerare ad esempio ((π)/(4),(π)/(2)) U ((π)/(2),(3π)/(4))

Possiamo allora calcolare al posto del limite di partenza:
lim_{(x → (π)/(2))}(-cos(x))/(-sin(x)) = (0)/(1) = 0.

Esempio C

Consideriamo il limite
lim_{(x → 0)}(√(cos(x))-1)/(ln(1+x)-x).
Possiamo applicare il Teorema di De l’Hôpital? Forse.

Consideriamo l’insieme (-1,0) U (0,1) e calcoliamo le derivate. Per la derivata del numeratore, ci serve il teorema di derivazione della funzione composta e le consuete regole sulle derivate fondamentali:
f'(x) = (d)/(dx)[√(cos(x))-1] = (1)/(2√(cos(x)))(-sin(x)) = -(sin(x))/(2√(cos(x))).
Per la derivata del denominatore, dobbiamo comportarci in modo analogo:
g'(x) = (d)/(dx)[ln(1+x)-x] = (1)/(1+x)-1.

Dobbiamo ora verificare se le funzioni f(x) e g(x) soddisfano le condizioni richieste dal Teorema di De l’Hôpital. In tutti i punti dell’insieme (-1,0) U (0,1) tranne in x = 0, le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili grazie agli usuali teoremi sulle funzioni derivabili, e g'(x) non si annulla. Tuttavia, f(x) non è derivabile nei punti del tipo x = (π)/(2)+kπ con k intero relativo (vale a dire le ascisse che annullano il denominatore della derivata), mentre g(x) non è derivabile nel punto x = -1.

Resta solamente controllare se esiste il limite del rapporto delle der

Avvertenze sul teorema di de l’Hôpital

Il teorema di de l’Hôpital è comunemente insegnato alle scuole superiori come un metodo utile per risolvere limiti indeterminati, ma spesso viene sconsigliato o addirittura vietato nell’ambito degli studi universitari. Questo perché:

Origine del teorema

Il teorema di de l’Hôpital non è stato originariamente formulato dal marchese di de l’Hôpital, ma piuttosto da Johann Bernoulli. Il marchese ha commissionato il teorema a Bernoulli e l’ha poi pubblicato sotto il proprio nome. Questo può essere considerato come un piccolo segreto che ha portato alcuni docenti universitari a detestare il teorema.

Ipotesi del teorema

Il teorema di de l’Hôpital ha delle precise ipotesi che devono essere verificate prima di poterlo applicare. Tuttavia, gli studenti spesso tendono a concentrarsi solo sulla tesi del teorema, ignorando le ipotesi. Questo porta ad applicare il teorema in modo errato, senza verificare le sue ipotesi, e viene giustamente considerato un errore in sede d’esame. Gli studenti dovrebbero invece verificare sempre le ipotesi del teorema prima di applicarlo.

Metodo di calcolo dei limiti con Taylor

All’università, il metodo di calcolo dei limiti con Taylor è ritenuto più semplice e teoricamente solido del teorema di de l’Hôpital, in particolare per la forma indeterminata 0/0. Per questo motivo, il teorema del marchese viene spesso ripudiato e sostituito dal metodo di calcolo dei limiti con Taylor.

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