Il pentagono è una figura geometrica composta da cinque lati e rappresenta un argomento di grande importanza nello studio della matematica. In particolare, la maggior parte dei problemi matematici che affronterai nella tua carriera scolastica riguarderà pentagoni regolari, ovvero pentagoni con lati identici.
Per calcolare l’area di un pentagono regolare, esistono due metodi: il primo prevede l’utilizzo della formula dell’area del pentagono regolare, che richiede di conoscere la lunghezza dei lati del pentagono, mentre il secondo prevede la suddivisione del pentagono in triangoli, il calcolo dell’area di ogni triangolo e l’addizione di queste aree. In entrambi i casi, è importante avere una conoscenza approfondita delle formule geometriche e delle proprietà dei poligoni regolari.
Calcolo dell’area di un pentagono regolare partendo dalla lunghezza del lato e dell’apotema
Che cosa è l’apotema di un pentagono?
L’apotema di un pentagono è la linea che parte dal centro della figura e interseca un lato con un angolo retto di 90°. Non va confusa con il raggio, che congiunge il centro del pentagono con uno dei suoi vertici.
Come si calcola l’area di un pentagono regolare dato il lato e l’apotema?
Per calcolare l’area di un pentagono regolare partendo dalla lunghezza del lato e dell’apotema, si possono seguire i seguenti passaggi:
Suddividere il pentagono in 5 triangoli uguali tracciando 5 linee che congiungono il centro della figura con ogni vertice.
Calcolare l’area di un singolo triangolo utilizzando la formula (base x altezza) / 2, dove la base corrisponde alla lunghezza del lato del pentagono e l’altezza corrisponde alla lunghezza dell’apotema.
Moltiplicare l’area di un singolo triangolo per 5 per ottenere l’area totale del pentagono.
Esempio
Supponiamo di avere un pentagono regolare con i lati lunghi 3 unità e l’apotema lungo 2 unità.
Suddividiamo il pentagono in 5 triangoli uguali tracciando 5 linee che congiungono il centro della figura con ogni vertice.
Calcoliamo l’area di un singolo triangolo utilizzando la formula (base x altezza) / 2. Nel nostro caso: (3 x 2) / 2 = 3 unità quadrate.
Moltiplichiamo l’area di un singolo triangolo per 5 per ottenere l’area totale del pentagono. Nel nostro caso: 5 x 3 = 15 unità quadrate.
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Calcolo dell’Area di un Pentagono Regolare Partendo dalla Lunghezza del Lato
Suddivisione del Pentagono in Triangoli
Il primo passo per calcolare l’area di un pentagono regolare a partire dalla lunghezza di un lato consiste nella suddivisione della figura in 5 triangoli uguali. Per fare ciò, è necessario disegnare 5 linee che congiungono il centro della figura con ognuno dei suoi vertici (i 5 angoli).
Divisone dei Triangoli in Parti Uguali
Dopo aver suddiviso il pentagono in 5 triangoli, il passo successivo consiste nella divisione di uno di questi triangoli in due parti uguali, tracciando una linea che parte dal centro del pentagono e interseca la base del triangolo formando un angolo di 90°. In questo modo, otterremo due triangoli rettangoli identici.
Calcolo dell’Altezza del Triangolo Rettangolo
Per calcolare l’area del pentagono, dobbiamo conoscere la lunghezza dell’altezza del triangolo rettangolo. L’altezza del triangolo coincide con l’apotema del pentagono, quindi è la linea che parte dal centro intersecando il lato del pentagono con un angolo di 90°.
Per calcolare la lunghezza dell’altezza, possiamo utilizzare le nozioni base della trigonometria. In un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è uguale al rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente. Nel nostro caso, il lato opposto all’angolo di 36° è la base del triangolo (che sappiamo essere uguale a metà della lunghezza del lato del pentagono), mentre il lato adiacente all’angolo di 36° è l’altezza del triangolo.
Quindi, possiamo utilizzare la formula: tan(36º) = lato opposto / lato adiacente per calcolare la lunghezza dell’altezza. Nel nostro esempio, otterremo: tan(36º) = 3,5 / altezza. Quindi, altezza x tan(36º) = 3,5. Arrotondando il risultato per semplificare i calcoli, otteniamo che l’altezza è pari a 4,8 unità.
Calcolo dell’Area del Triangolo Rettangolo
Adesso che conosciamo la misura dell’altezza del triangolo rettangolo, possiamo utilizzare la formula dell’area di un triangolo: (base x altezza) / 2 per calcolare la sua area. Nel nostro esempio, la base del triangolo è pari a 3,5 unità, quindi l’area del triangolo rettangolo è (3,5 x 4,8) / 2 = 8,4 unità quadrate.
Calcolo dell’Area Totale del Pentagono
Per calcolare l’area totale del pentagono, è sufficiente moltiplicare l’area del triangolo
Calcolare l’Area del Pentagolo Regolare con la Formula Matematica
Usa il perimetro e l’apotema
La formula per calcolare l’area di un pentagono regolare utilizzando il perimetro e l’apotema è la seguente: Area = (p x a) / 2, dove p rappresenta il perimetro del pentagono e a la lunghezza dell’apotema. Per calcolare il perimetro del pentagono, puoi utilizzare la formula p = 5s, dove s è la lunghezza di un singolo lato del pentagono.
Usa la misura di un lato
Se conosci solo la misura di un singolo lato del pentagono, puoi utilizzare la formula Area = (5s^2) / (4tan(36º)), dove s è la misura di un lato della figura e tan(36º) è uguale a √(5-2√5). Se la tua calcolatrice non è in grado di calcolare la funzione tangente di un angolo, puoi usare la formula Area = (5s^2) / (4√(5-2√5)).
Usa la misura del raggio
Se disponi solo della misura del raggio del pentagono, la formula per calcolare l’area è la seguente: Area = (5/2)r^2sin(72º), dove r è la misura del raggio e sin(72º) è uguale a (√5 – 1) / 4.
Consigli per calcolare l’Area del Pentagolo
Arrotondare i valori
Per rendere i calcoli matematici meno complessi, negli esempi di questo articolo sono stati utilizzati valori arrotondati. Tuttavia, calcolando l’area e le altre misure utilizzando i dati reali senza eseguire alcun arrotondamento, si otterranno dei risultati leggermente differenti.
Confrontare i risultati
Se possibile, esegui i calcoli utilizzando sia il metodo geometrico sia la formula aritmetica e confronta i risultati ottenuti per avere la conferma della correttezza del risultato. Eseguendo il calcolo della formula aritmetica in un unico passaggio (senza eseguire gli arrotondamenti previsti dai passaggi intermedi) potresti ottenere un risultato leggermente differente, ma comunque molto simile al primo. Questa differenza viene generata perché non si eseguono gli arrotondamenti di tutti i passaggi che compongono la formula finale utilizzata.
Pentagoni irregolari
Lo studio dei pentagoni irregolari (dove i lati della figura non sono tutti uguali) è molto più complesso. Normalmente l’approccio migliore consiste nel suddividere il pentagono irregolare in triangoli di cui andranno sommate tutte le aree. In alternativa potresti avere la necessità di procedere nel seguente modo: disegnare una figura che circoscriva il pentagono, calcolarne l’area e sottrarre a quest’ultima l’area non inclusa nel pentagono.
Ricavare le formule matematiche
Le formule matematiche vengono ricavate con metodi geometrici molto simili a quelli descritti in questo articolo. Prova a scoprire come sono state ricavate le formule utilizzate. La formula che sfrutta il raggio è molto più difficile da dedurre rispetto alle altre (suggerimento: dovrai usare la doppia identità dell’angolo).
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