Un trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli chiamati basi e due lati obliqui. Un trapezio rettangolo, invece, è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi, mentre un trapezio isoscele ha i lati obliqui congruenti e gli angoli adiacenti alle basi rispettivamente congruenti. Il trapezio è un quadrilatero di grande importanza, presente negli esercizi di matematica sin dalle scuole medie fino alle superiori.
E’ necessario avere pazienza e concentrazione nello studio di questo argomento, poiché continuerà ad essere presente nella carriera scolastica. Oltre alla definizione di trapezio, è importante conoscere le definizioni di trapezio isoscele e di trapezio rettangolo, comprendendone le proprietà e conoscendo tutte le formule principali.
Il Trapezio
Un trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli, chiamati basi, e due lati obliqui. In modo equivalente, un trapezio è un poligono convesso con quattro lati di cui due sono paralleli tra loro.
L’aggettivo convesso indica che il trapezio non contiene alcun prolungamento dei suoi lati, e che i lati non si intrecciano tra loro.
Trapezio Rettangolo
Un trapezio rettangolo è un trapezio in cui un lato obliquo è perpendicolare alle basi. In altre parole, gli angoli adiacenti a un lato obliquo misurano 90°.
Trapezio Isoscele
Un trapezio isoscele è un trapezio in cui i lati obliqui sono congruenti e gli angoli adiacenti alle basi sono rispettivamente congruenti.
È importante non sottovalutare l’ipotesi sugli angoli adiacenti alle basi, poiché solo se gli angoli sono congruenti, i lati obliqui possono essere considerati congruenti.
Fonte: TuttoNormel.it
Video-lezione GEOMETRIA: Il perimetro del trapezio – YouTube
Formule del Trapezio
Caso Generale
Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli, chiamati basi, e due lati obliqui. Le formule del trapezio sono valide in modo generale, ma vengono qui riportate con nomi specifici per le grandezze geometriche che descrivono il trapezio:
- B = base maggiore
- b = base minore
- h = altezza
- L1 ed L2 = lati obliqui
- p = semiperimetro
- A = area
Le formule del trapezio sono:
- Perimetro del trapezio: 2p = b + B + L1 + L2
- Base maggiore (dato il perimetro): B = 2p – b – L1 – L2
- Base minore (dato il perimetro): b = 2p – B – L1 – L2
- Lato obliquo 1 (dato il perimetro): L1 = 2p – b – B – L2
- Lato obliquo 2 (dato il perimetro): L2 = 2p – b – B – L1
- Area del trapezio: A = ((b + B) × h) / 2
- Base maggiore (data l’area): B = (2A) / h – b
- Base minore (data l’area): b = (2A) / h – B
- Somma delle basi (data l’area): B + b = (2A) / h
- Altezza (data l’area): h = (2A) / (B + b)
Trapezio Rettangolo
Il trapezio rettangolo è un trapezio in cui un lato obliquo è perpendicolare alle basi. In questo caso, le formule del trapezio generale si semplificano e diventano:
- L = lato obliquo (con altezza e basi, teorema di Pitagora): L = √(h^2 + (B – b)^2)
- Altezza (con lato obliquo e basi): h = √(L^2 – (B – b)^2)
- Proiezione del lato obliquo (con lato obliquo e altezza): B – b = √(L^2 – h^2)
- Diagonale maggiore (con base maggiore e altezza): D = √(h^2 + B^2)
- Altezza (con diagonale maggiore e base maggiore): h = √(D^2 – B^2)
- Base maggiore
Proprietà del Trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con due lati opposti paralleli, chiamati basi, e due lati obliqui. Esistono alcune proprietà comuni a tutti i trapezi:
- Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono supplementari.
- La somma degli angoli interni di un trapezio è uguale a un angolo giro.
- Le diagonali di un trapezio si tagliano in segmenti corrispondenti proporzionali: se AC e BD sono le diagonali di un trapezio, e M è il loro punto di intersezione, allora AM:MC = BM:MD.
Trapezio Rettangolo
Il trapezio rettangolo è un trapezio in cui uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi. Inoltre, ha la seguente proprietà:
- Uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi e forma con esse angoli di 90°.
Trapezio Isoscele
Il trapezio isoscele è un trapezio in cui i lati obliqui sono congruenti. Ha anche le seguenti proprietà:
- Gli angoli adiacenti a una stessa base sono congruenti.
- Le diagonali sono congruenti.
- Un trapezio isoscele è simmetrico rispetto alla retta passante per i punti medi delle due basi.
- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una semicirconferenza è congruente alla metà della base maggiore.
- Il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza è congruente alla semisomma delle basi.
- Nel caso in cui si consideri una circonferenza inscritta in un trapezio isoscele, valgono le seguenti formule (r indica il raggio):
- h = 2r
- B + b = 2L
Fonte: Wikipedia
Classificazione dei trapezi
Esistono diverse possibili classificazioni dei trapezi relative ai lati e agli angoli:
- In riferimento ai lati possiamo distinguere tra il trapezio isoscele, in cui i due lati obliqui sono congruenti (e gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti), e il trapezio scaleno, in cui i due lati obliqui hanno lunghezze diverse tra loro.
- In riferimento agli angoli si considera solamente il caso notevole del trapezio rettangolo, in cui sono presenti due angoli retti formati da un lato obliquo perpendicolare alle basi.
È importante notare che le due classificazioni in base ai lati e agli angoli sono indipendenti l’una dall’altra. Possiamo ad esempio avere un trapezio scaleno rettangolo, oppure un trapezio isoscele rettangolo. A seconda delle possibili configurazioni geometriche nella famiglia dei trapezi vengono definiti particolari quadrilateri.
Prima però conviene disegnare un bel diagramma di Venn per l’insieme dei trapezi nell’insieme dei quadrilateri convessi.
Ora, partendo dalle definizioni, è facile capire quali sono i particolari tipi di trapezi che già conosciamo. Scendiamo dal generale al particolare:
- Un parallelogramma è un trapezio con i lati a due a due paralleli (e quindi a due a due congruenti). In generale un parallelogramma non è un trapezio isoscele, a meno che sia un rettangolo, perché questo è l’unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti (ecco perché nella definizione avevamo sottolineato l’importanza di questa condizione).
- Un rombo è un parallelogramma con i quattro lati uguali, quindi è un trapezio con i lati a due a due paralleli e tutti congruenti tra loro. In generale un rombo non è un trapezio isoscele, a meno che sia un quadrato, perché questo è l’unico caso in cui gli angoli adiacenti alle rispettive basi sono congruenti.
- Un rettangolo è un parallelogramma con gli angoli interni ciascuno di 90°, dunque è un trapezio con i lati a due a due paralleli e con gli angoli interni ciascuno ampio 90°. Ne deduciamo che un rettangolo è un trapezio rettangolo (perché è un trapezio con un lato obliquo perpendicolare alle basi) e che è anche un trapezio isoscele (perché ha i lati obliqui congruenti con angoli adiac
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