Il concetto di vettore è stato creato per rappresentare grandezze fisiche come lo spostamento, la velocità e la forza, le quali richiedono una rappresentazione più complessa di un numero e un’unità di misura. Per approfondire il tema, è possibile consultare l’articolo sui vettori in Fisica. In questa lezione, invece, tratteremo il concetto di vettore come ente geometrico, spiegando le principali nozioni correlate.
Saranno illustrate le definizioni di vettore nel piano, vettori equipollenti, differenza tra vettore libero e applicato e il concetto di versore. Inoltre, verranno descritte le componenti di un vettore nel piano e si estenderà il concetto di vettore allo spazio tridimensionale. Infine, si farà una breve menzione dei vettori in R^n.
Spiegazione sul concetto di vettore
Definizione geometrica
Un vettore è un segmento orientato che va dal punto A al punto B. La sua direzione è data dalla retta che passa per i due estremi del segmento, mentre il suo verso è l’orientamento che si ha sulla retta da A a B o da B ad A. Il modulo del vettore è la sua lunghezza, misurata rispetto ad un’unità di misura definita.
Rappresentazione grafica
Un vettore può essere rappresentato graficamente come una freccia che parte dal punto A e arriva al punto B. Si indica con la notazione →AB, che significa “il vettore che va dal punto A al punto B”. Viceversa, se si indica il vettore →BA, si sta facendo riferimento alla freccia che parte dal punto B e arriva al punto A.
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Tipi di vettori
Vettore applicato
Un vettore applicato è definito da un punto iniziale e un punto finale, come il vettore overrightarrowAB nella prima immagine.
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Vettori equipollenti
Due vettori applicati overrightarrowAB e overrightarrowCD si dicono equipollenti se soddisfano una delle seguenti condizioni:
(a) A coincide con C e B coincide con D;
(b) overrightarrowAB e overrightarrowCD sono sulla stessa retta e hanno lo stesso modulo e lo stesso verso;
(c) overrightarrowAB e overrightarrowCD sono su rette parallele distinte e hanno lo stesso modulo e lo stesso verso.
In altre parole, due o più vettori sono equipollenti se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. L’equipollenza tra vettori è una relazione di equivalenza, che è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Classi di equipollenza
L’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un vettore applicato overrightarrowAB costituisce una classe di equipollenza. Ogni classe è composta da tutti i segmenti orientati che hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. Di conseguenza, due classi di equipollenza differiscono tra loro per almeno una di queste tre proprietà.
Vettore libero
Un vettore libero, o semplicemente vettore, è una classe di equipollenza di vettori applicati. Viene indicato con una lettera minuscola dell’alfabeto sormontata da una freccia (v) o scritta in grassetto (v). In altre parole, un vettore libero è l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un vettore applicato overrightarrowAB, che è il rappresentante della classe di equipollenza.
Altri tipi di vettori
Vettore nullo
Il vettore nullo, indicato generalmente con 0 o 0, ha un modulo pari a zero e una direzione e un verso indeterminati. In uno spazio vettoriale, è l’elemento neutro dell’operazione di addizione ed è unico.
Versori
Un versore è un vettore di lunghezza unitaria, ovvero con modulo uguale a 1. Viene usato per caratterizzare altri vettori e individuare una specifica direzione.
Dato un vettore v, è possibile associargli un versore vers(v), definito come il rapporto tra il vettore v e il suo modulo ||v||:
vers(v) = v / ||v||
Il versore associato a un vettore ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore corrispondente, ma ha modulo pari a 1.
Componenti cartesiane di un vettore nel piano
Sistema di assi cartesiani ortogonali
Consideriamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, detto piano cartesiano, e un vettore applicato v = overrightarrowOA con punto di applicazione nell’origine del sistema di riferimento.
Componenti cartesiane di un vettore
Le componenti cartesiane del vettore v = overrightarrowOA sono le coordinate cartesiane del punto A, e si indicano con v_x e v_y. La componente v_x è la proiezione del vettore sulle ascisse, mentre la componente v_y è la proiezione sulle ordinate.
Calcolo delle componenti cartesiane
Conoscendo il modulo v = ||v|| del vettore e l’angolo θ che il vettore forma con l’asse delle ascisse, è possibile calcolare algebricamente le sue componenti utilizzando le formule trigonometriche sul triangolo rettangolo:
v_x = v cos(θ)
v_y = v sin(θ)
Notazione vettoriale
Una volta scomposto il vettore v nelle sue componenti v_x e v_y, è possibile indicarlo con la seguente notazione vettoriale:
v = (v_x, v_y)
oppure, in modo equivalente,
v = v_x i + v_y j
dove i e j sono i versori che rappresentano le direzioni degli assi coordinati.
Ricostruzione del vettore
Conoscendo le componenti v_x e v_y di un vettore, è possibile ricostruirlo utilizzando le seguenti formule:
||v|| = √(v_x^2 + v_y^2)
cos(θ) = v_x / ||v||
sin(θ) = v_y / ||v||
Componenti di un vettore dello spazio
Un vettore nello spazio può essere rappresentato attraverso un sistema di assi cartesiani ortogonali x, y, z. Le componenti cartesiane di un vettore v = overrightarrowOA sono date dalle coordinate cartesiane del punto A e si indicano con v_x, v_y e v_z, rispettivamente la componente lungo l’asse delle ascisse, delle ordinate e delle quote.
Per trovare le componenti cartesiane di un vettore dello spazio, dobbiamo individuare l’angolo che il vettore forma con l’asse z e la proiezione del vettore sul piano xy, che chiameremo v_(xy). L’angolo θ che il vettore forma con l’asse z è dato dalla formula θ = cos^(-1)(v_z/||v||), dove ||v|| è il modulo del vettore. La proiezione del vettore sul piano xy è data da v_(xy) = v sin(θ).
Per trovare le componenti v_x e v_y, dobbiamo individuare l’angolo φ che la proiezione del vettore sul piano xy forma con l’asse x. L’angolo φ è dato da φ = tan^(-1)(v_y/v_x). Quindi, le componenti cartesiane del vettore sono:
- v_x = v sin(θ) cos(φ)
- v_y = v sin(θ) sin(φ)
- v_z = v cos(θ)
Il vettore può quindi essere rappresentato dalle sue componenti cartesiane v_x, v_y e v_z, ovvero:
v = (v_x, v_y, v_z)
Oppure, equivalentemente, mediante i suoi versori i, j e k:
v = v_x i + v_y j + v_z k
Se sono note le componenti cartesiane di un vettore dello spazio, il suo modulo può essere trovato dalla formula ||v|| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2), mentre gli angoli θ e φ possono essere trovati tramite le formule:
- cos(θ) = (v_z)/(||v||)
- cos(φ) = (v_x)/(||v||sin(θ))
- sin(φ) = (v_y)/(||v||sin(θ))
Componenti di un vettore come differenza tra due punti
Un vettore applicato v = AB può essere rappresentato come la differenza tra le coordinate cartesiane dell’estremo finale B e del punto di applicazione A. In formule:
v = B – A
Questa espressione ci permette di calcolare le componenti del vettore v sapendo le coordinate cartesiane dei due punti A e B.
Si noti che la sottrazione di un punto dal punto di applicazione corrisponde all’operazione di somma del vettore opposto, quindi:
v = AB = -BA
Vettori in Rn
In matematica, i vettori in R^n, con n ∈ N e n ≥ 4, sono assegnati come n-uple ordinate di numeri reali. Ogni elemento della n-upla individua una componente del vettore.
Rappresentazione dei vettori in R^n
I vettori in R^n vengono rappresentati come:
- v = (v1, v2, …, vn) ∈ Rn
dove v1, v2, …, vn sono i valori delle componenti del vettore e Rn indica lo spazio vettoriale di dimensione n.
Calcolo del modulo del vettore in R^n
Per i vettori in R^n, è possibile calcolare il modulo, che è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti:
- v: = ||v|| = √(v12 + v22 + … + vn2)
Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)
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