Il moto circolare uniforme è un tipo di movimento in cui un oggetto si sposta lungo una traiettoria circolare con una velocità costante. La legge oraria del MCU è rappresentata dalla formula θ=θ0+ωt, dove θ rappresenta l’angolo, θ0 l’angolo iniziale, ω la velocità angolare e t il tempo trascorso. Questo tipo di moto è molto importante nelle applicazioni teoriche e pratiche, e pertanto, proporremo tutte le formule del MCU in questa lezione, dopo averne spiegato la definizione.
Moto circolare uniforme: definizione, formule e caratteristiche
Definizione
Il moto circolare uniforme (MCU) è il movimento di un punto materiale che descrive una traiettoria circolare ruotando con un valore di velocità costante. In altre parole, un punto materiale si muove di moto circolare uniforme se percorre archi uguali in tempi uguali.
Un esempio comune di MCU è la classica giostra dei cavalli, in cui ogni cavallo compie una traiettoria circolare attorno al centro della giostra e la velocità con cui ogni cavallo ruota è costante durante il moto.
Formule
Ecco le principali formule del MCU:
Velocità tangenziale
La velocità tangenziale è la velocità con cui un punto materiale si muove lungo la circonferenza del cerchio.
v = (s)/(t)
v = (2π r)/(T)
dove:
s = spazio percorso lungo la circonferenza
t = tempo impiegato a percorrere lo spazio s
r = raggio della circonferenza
T = periodo, ovvero il tempo impiegato a compiere un’intera rotazione
Il moto circolare uniforme – YouTube
Velocità angolare
La velocità angolare è la velocità con cui un punto materiale ruota intorno al centro del cerchio.
ω = (2π)/(T)
ω = 2π f
dove:
f = frequenza, ovvero il numero di rotazioni compiute in un secondo
Frequenza e periodo
La frequenza è il numero di rotazioni compiute in un secondo.
f = (1)/(T)
T = (1)/(f)
Accelerazione centripeta
L’accelerazione centripeta è l’accelerazione diretta verso il centro del cerchio, necessaria per mantenere il punto materiale sulla traiettoria circolare.
a_c = (v^2)/(r)
a_c = ω^2 r
v = √(a_cr)
dove:
a_c = accelerazione centripeta
v = velocità tangenziale
ω = velocità angolare
Altre formule
Ecco altre formule utili per il MCU:
r = (vT)/(2π)
r = (a_c)/(ω^2)
ω = (v)/(r)
r = (v)/(ω)
Caratteristiche
Le caratteristiche del MCU sono:
- modulo della velocità costante: la velocità tangenziale del punto materiale è costante durante il moto
- velocità angolare costante: la velocità con cui il punto materiale ruota intorno al centro del cerchio è costante durante il moto
- periodo costante: il tempo impiegato dal punto materiale a compiere un’intera rotazione è costante durante il moto
- frequenza costante: il numero di rotazioni compiute dal punto materiale in un secondo è costante durante il moto
- modulo dell’accelerazione centripeta costante: l’accelerazione centripeta necessaria per mantenere il punto materiale sulla traiettoria circolare è costante durante
Velocità tangenziale nel moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme (MCU) è un tipo di movimento in cui un punto si muove in modo costante lungo una traiettoria circolare. Per calcolare la velocità tangenziale in questo tipo di movimento, bisogna considerare la definizione di velocità come rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo:
Definizione di velocità tangenziale
v = (s)/(t)
Nel caso del MCU, se pensiamo di percorrere un giro completo di 360° (angolo giro), lo spazio coincide con la lunghezza della circonferenza (C = 2π r). Pertanto, la velocità tangenziale può essere calcolata come:
v = (2π r)/(T)
Dove T rappresenta il periodo, cioè il tempo necessario per compiere un giro completo. La velocità tangenziale è un vettore che, punto per punto, è sempre tangente alla traiettoria circolare e perpendicolare al raggio. Il suo verso è dato dal senso di rotazione del punto (orario o antiorario).
Formule inverse della velocità tangenziale
Le formule inverse della velocità tangenziale nel MCU sono:
- Raggio: r = (vT)/(2π)
- Periodo: T = (2π r)/(v)
In altre parole, conoscendo il valore di velocità tangenziale, è possibile ricavare il valore del raggio o del periodo e viceversa.
Fonte: youmath.it
Velocità angolare nel moto circolare uniforme
Definizione di velocità angolare
Nel moto circolare c’è un altro tipo di velocità che si può prendere in considerazione: la velocità angolare, che è definita come il rapporto tra l’angolo descritto dal punto e l’intervallo di tempo impiegato per descriverlo, e che si indica con la lettera greca ω.
Dato che il valore della velocità è costante nel moto circolare uniforme (MCU), per calcolare la velocità angolare basta considerare un giro completo: l’angolo descritto è di 360° (2π in radianti) e il tempo per percorrerlo è ovviamente il periodo.
ω = (2π)/(T)
Formule inverse della velocità angolare
L’unica formula inversa della velocità angolare nel MCU è:
- Periodo: T = (2π)/(ω)
Esiste inoltre una relazione che lega la velocità angolare alla velocità tangenziale nel MCU:
- v = ω r
Per desumerla è sufficiente impostare una proporzione tra la distanza percorsa lungo l’intera traiettoria circolare, coperta con un movimento a velocità tangenziale costante, e l’angolo giro coperto muovendosi con velocità angolare costante:
- 2π r:v = 2π:ω
Grazie alla proprietà fondamentale delle proporzioni ricaviamo proprio la formula precedente:
- v = (2π r·ω)/(2π) = ω r
Dalla relazione tra velocità angolare e velocità tangenziale, possiamo ricavare immediatamente le seguenti formule inverse:
- ω = (v)/(r)
- r = (v)/(ω)
Osservazione sulla differenza tra velocità angolare e tangenziale
Osserviamo che la velocità tangenziale dipende dal raggio. Ciò significa che, ad esempio, nel caso della giostra, il cavallo più esterno (quello la cui traiettoria ha raggio maggiore) avrà una velocità tangenziale maggiore, mentre quello che si trova più vicino al centro girerà più lentamente. Ciò ha perfettamente senso: il cavallo più lontano dal centro di rotazione dovrà percorrere una circonferenza più lunga nello stesso tempo di tutti gli altri, e quindi necessariamente dovrà essere più veloce.
Per la velocità angolare invece, non c’è alcuna dipendenza dal raggio: tutti i cavalli della giostra avranno la stessa velocità angolare, indipendentemente dalla loro distanza dal centro di rotazione, perché tutti descriveranno lo stesso angolo nello stesso tempo.
Frequenza e accelerazione centripeta nel moto circolare uniforme
Frequenza
Il moto circolare uniforme è caratterizzato da un’altra importante grandezza: la frequenza f.
La frequenza è una grandezza che stabilisce quanti giri vengono compiuti ogni secondo. Essa è definita come il reciproco del periodo e la sua unità di misura prende il nome di Hertz (Hz), che dimensionalmente corrisponde al reciproco del secondo.
f = (1)/(T)
Di conseguenza, è possibile ricavare il periodo dalla frequenza mediante la formula inversa:
t = (1)/(f)
Attenzione a non confondere periodo e frequenza. Se vi si dice che un corpo ruota con un periodo di 20 s, significa che impiega un tempo di 20 s per percorrere un giro completo. Se vi si dice invece che la frequenza è di 20 Hz, allora significa che in un solo secondo il corpo compie 20 giri.
Accelerazione centripeta
Nonostante il moto circolare uniforme sia un moto a velocità costante, siamo comunque in presenza di un’accelerazione.
La cosa non vi deve stupire perché in realtà la velocità non è davvero costante. Non vi dimenticate che la velocità è un vettore e che, per far variare un vettore, se ne può modificare il modulo oppure la direzione, o entrambe le proprietà.
Nel caso del moto circolare uniforme, il modulo della velocità rimane costante (ed è a tale aspetto che ci si riferisce con la parola uniforme), ma la sua direzione cambia costantemente. Per modificare la direzione della velocità deve necessariamente intervenire un’accelerazione, detta accelerazione centripeta perché si tratta di un vettore diretto sempre verso il centro della circonferenza.
Abbiamo due diverse formule per l’accelerazione centripeta:
- a_(c) = (v^(2))/(r)
- a_(c) = ω^(2)r
E, a seconda degli esercizi, sceglieremo l’equazione più conveniente. Ecco le formule inverse:
- v = √(a_(c)r)
- r = (v^(2))/(a_(c))
- ω = √((a_(c))/(r))
- r = (a_(c))/(ω^(2))
Dalle formule si nota facilmente che l’accelerazione centripeta è costante in modulo, mentre non lo è nella direzione né tantomeno nel verso.
Il moto circolare uniforme: definizione e formule
Definizione di moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale che descrive una traiettoria circolare ruotando con un valore di velocità costante. In modo equivalente si può dire che un punto materiale si muove di moto circolare uniforme se percorre archi uguali in tempi uguali.
Formule del moto circolare uniforme
Le formule del moto circolare uniforme sono:
- Velocità tangenziale: v = (2πr)/T
- Velocità angolare: ω = (2π)/T
- Frequenza: f = 1/T
- Periodo: T = 1/f
- Accelerazione centripeta: a_c = v^2/r = ω^2r
Le grandezze del moto circolare uniforme
Velocità tangenziale nel moto circolare uniforme
La velocità tangenziale è il modulo della velocità con cui un punto si muove descrivendo una traiettoria circolare nel moto circolare uniforme. Si può calcolare tramite la formula v = (2πr)/T, dove r è il raggio della circonferenza e T il periodo.
Velocità angolare nel moto circolare uniforme
La velocità angolare è il rapporto tra l’angolo descritto dal punto e l’intervallo di tempo impiegato per descriverlo nel moto circolare uniforme. Si può calcolare tramite la formula ω = (2π)/T, dove T è il periodo.
Frequenza nel moto circolare uniforme
La frequenza è la grandezza che stabilisce quanti giri vengono compiuti ogni secondo nel moto circolare uniforme. Si può calcolare tramite la formula f = 1/T, dove T è il periodo.
Accelerazione centripeta nel moto circolare uniforme
L’accelerazione centripeta è l’accelerazione necessaria per far variare la direzione della velocità, nel moto circolare uniforme si tratta di un vettore diretto sempre verso il centro della circonferenza. Si può calcolare tramite la formula a_c = v^2/r = ω^2r, dove v è la velocità tangenziale e r il raggio della circonferenza.
Esempio sul moto circolare uniforme
Supponiamo di avere un disco in vinile del diametro di 30 cm che effettua 33 giri al minuto nel moto circolare uniforme. La velocità angolare del disco è di circa 3,5 (rad)/s. La velocità tangenziale di un punto sul bordo del disco (r = 0,15 m) è di circa 0,52 (m)/s, mentre per un punto che si trova a 12 cm dal centro è di circa 0,41 (m)/s. L’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del disco è di circa 1,84
Legge oraria del moto circolare uniforme
In tutti i moti che abbiamo studiato finora abbiamo visto che è possibile scrivere una legge oraria, cioè un’equazione che caratterizza il moto e che descrive la posizione del punto materiale al tempo t. Vi ricordate le leggi orarie del moto rettilineo uniforme e del moto rettilineo uniformemente accelerato?
Ovviamente esiste anche una legge oraria per il moto circolare uniforme, ed è la seguente:
θ(t) = θ0+ω t
dove la posizione del punto materiale viene espressa per comodità in funzione dell’angolo. Da notare che nella legge oraria si considera t0 = 0 come istante iniziale e θ0 come posizione iniziale.
Ricavare la legge oraria
Vediamo come ricavare la legge oraria del moto circolare uniforme. Esprimiamo la velocità angolare nella consueta forma:
ω = (Δθ)/(Δt) = (θ-θi)/(t-ti)
Considerando la precedente equazione come espressione del rapporto incrementale di θ = θ(t) calcolato in ti, e facendo tendere a zero l’intervallo di tempo Δt, otteniamo la derivata della funzione θ(t) rispetto al tempo:
ω = (dθ)/(dt)
Ora trattiamo la precedente relazione come un’equazione differenziale alle variabili separabili e consideriamo i contributi infinitesimi:
dθ = ω dt
E integriamo entrambi i membri. Con un piccolo abuso di notazione sugli estremi di integrazione otteniamo:
∫θ0θdθ = ∫0tω dt ; θ-θ0 = ω t ; θ = θ0+ω t
In particolare, possiamo notare che questa equazione è l’equivalente per il moto circolare della legge oraria del moto rettilineo uniforme, dove lo spazio s è sostituito dall’angolo θ e la velocità v dalla velocità angolare ω.
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