Il cubo di un binomio, rappresentato da (A±B)^3=A^3±3A^2B+3AB^2±B^3, può essere calcolato applicando una regola nota come prodotto notevole. Questa regola prevede che il cubo del primo monomio sia sommato o sottratto al triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo monomio, più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio, sommato o sottratto al cubo del secondo monomio.
La regola del cubo di un binomio è molto comune negli esercizi di matematica, poiché consente di sviluppare il cubo di un polinomio composto da due termini, con somma o differenza, o di scomporre uno sviluppo esistente in un cubo di un binomio.
Come calcolare il cubo di un binomio
Introduzione
Il calcolo del cubo di un binomio, ovvero dell’espressione (A+B)^3, può sembrare una procedura complicata, ma in realtà esiste una formula semplice e veloce che ci consente di risolvere il problema in modo efficiente. In questo articolo vedremo come applicare tale formula e come essa si può ricavare dalla regola del prodotto tra polinomi.
La formula del cubo di un binomio
La formula del cubo di un binomio è la seguente:
(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
In altre parole, il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del primo termine al quadrato per il secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine, più il cubo del secondo termine.
Applicazione della formula
Per applicare la formula del cubo di un binomio, dobbiamo prima identificare i due monomi non simili A e B che compongono il binomio dato. A questo punto, possiamo semplicemente sostituire i valori di A e B nella formula e risolvere l’espressione.
Esempio
Supponiamo di voler calcolare il cubo del binomio (2x+3):
(2x+3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 + (3)^3
= 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27
Prodotti notevoli: Cubo di un binomio – YouTube
Derivazione della formula
La formula del cubo di un binomio può essere derivata dalla regola del prodotto tra polinomi. Infatti, possiamo scrivere il cubo di un binomio come segue:
(A+B)^3 = (A+B)(A+B)(A+B)
A questo punto, dobbiamo moltiplicare tra loro i tre fattori del prodotto. Utilizzando la distributività, otteniamo:
(A+B)(A^2+AB+AB+B^2)(A+B) = (A^2+2AB+B^2)(A+B)
Applicando nuovamente la distributività, otteniamo:
A^3 + A^2B + 2A^2B + 2AB^2 + AB^2 + B^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
Da cui la formula del cubo di un binomio.
Conclusioni
Calcolare il cubo di un binomio può sembrare una procedura complicata, ma grazie alla formula del cubo di un binomio possiamo risolvere il problema in modo semplice e veloce. Inoltre, tale formula può essere derivata facilmente dalla regola del prodotto tra polinomi. Ricordiamo che, nel caso non si ricordasse la formula del cubo di un binomio, si può ricavarla servendosi della regola del quadrato di binomio.
Cubo di un binomio con differenza
Introduzione
Se ci troviamo a dover sviluppare il cubo di un binomio con segno meno (A-B)^3, possiamo utilizzare una regola simile a quella del cubo di un binomio con segno positivo. In questo articolo vedremo come applicare tale regola e come ricavarla dalla formula del cubo di un binomio.
La formula del cubo di un binomio con differenza
La formula per il cubo di un binomio con differenza è la seguente:
(A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3
Applicazione della formula
Per applicare la formula del cubo di un binomio con differenza, dobbiamo prima identificare i due monomi non simili A e B che compongono il binomio dato. A questo punto, possiamo sostituire i valori di A e B nella formula e risolvere l’espressione.
Esempio
Supponiamo di voler calcolare il cubo del binomio (2x-3y):
(2x-3y)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 – (3y)^3
= 8x^3 – 36x^2y + 54xy^2 – 27y^3
Derivazione della formula
La formula per il cubo di un binomio con differenza può essere ricavata dalla formula del cubo di un binomio con segno positivo, semplicemente attribuendo il segno meno al secondo monomio:
(A-B)^3 = (A+(-B))^3
e sviluppando il prodotto utilizzando la regola già nota:
(A-B)^3 = (A+(-B))^3 = A^3+3A^2(-B)+3A(-B)^2+(-B)^3 = A^3-3 A^2 B+3 A B^2-B^3
Conclusioni
Il calcolo del cubo di un binomio con segno meno può sembrare complicato, ma grazie alla formula del cubo di un binomio con differenza possiamo risolvere il problema in modo semplice e veloce. Ricordiamo che tale formula può essere ricavata dalla formula del cubo di un binomio con segno positivo, attribuendo il segno meno al secondo monomio.
Esempio: cubo di binomio con coefficienti fratti
Introduzione
A volte ci può capitare di dover calcolare il cubo di un binomio che presenta un coefficiente fratto. In questo articolo vedremo come applicare la formula del cubo di un binomio in un caso del genere.
Calcolo del cubo di un binomio con coefficienti fratti
Supponiamo di voler calcolare il cubo del binomio (-(1/3)x-3y)^3. Possiamo applicare la formula del cubo di un binomio sostituendo il valore di A e B e calcolando i singoli termini dell’espressione.
Esempio
(-(1/3)x-3y)^3 = (-(1/3)x)^3 – 3(-(1/3)x)^2(3y) + 3(-(1/3)x)(3y)^2 – (3y)^3
= -(1/27)x^3 + x^2y – 9xy^2 – 27y^3
Conclusioni
Il calcolo del cubo di un binomio con coefficienti fratti può sembrare complicato, ma è possibile applicare la formula del cubo di un binomio in modo analogo al caso in cui i coefficienti sono interi. L’importante è fare attenzione alle operazioni con i numeri razionali, evitando di commettere errori nella manipolazione dei coefficienti.
Esempio: cubo di binomio con monomi di grado maggiore di 1
Introduzione
In alcuni casi, nel cubo di un binomio possono essere presenti monomi di grado maggiore di 1. In questo articolo vedremo come applicare la regola del cubo di un binomio in un caso del genere.
Calcolo del cubo di un binomio con monomi di grado maggiore di 1
Supponiamo di voler calcolare il cubo del binomio (x^2-y^3)^3. Possiamo applicare la formula del cubo di un binomio sostituendo il valore di A e B e calcolando i singoli termini dell’espressione.
Esempio
(x^2-y^3)^3 = x^6 – 3x^4y^3 + 3x^2y^6 – y^9
Conclusioni
Il calcolo del cubo di un binomio con monomi di grado maggiore di 1 richiede l’applicazione delle proprietà delle potenze. In particolare, dobbiamo utilizzare la regola per le potenze di potenze per calcolare i singoli termini dell’espressione. Una volta ottenuti tutti i monomi necessari, possiamo scrivere il cubo del binomio utilizzando la regola del cubo di binomio.
Errori frequenti nello sviluppo del cubo di binomio
Introduzione
Gli esercizi sul cubo di binomio possono presentare diverse difficoltà, soprattutto riguardo alla corretta applicazione delle regole per lo sviluppo del binomio. In questo articolo vedremo alcuni degli errori più comuni e come evitarli.
Errori comuni nello sviluppo del cubo di binomio
Uno degli errori più comuni nella formula del cubo di binomio è il segno. Spesso si dimentica di attribuire il segno corretto ai termini del binomio. Inoltre, può capitare di commettere errori di calcolo nel triplo prodotto dei termini.
Come evitare gli errori nello sviluppo del cubo di binomio
Per evitare gli errori nello sviluppo del cubo di binomio, è importante esercitarsi continuamente e fare attenzione ai segni dei termini. Inoltre, è importante ricordare di moltiplicare per tre i prodotti e controllare i calcoli effettuati.
Scomposizione con il cubo di binomio
La formula del cubo di binomio può anche essere utilizzata per scomporre i polinomi. Infatti, scomporre un polinomio significa esprimerlo come prodotto di altri polinomi di grado inferiore. La formula del cubo di un binomio fornisce quindi un metodo di scomposizione dei quadrinomi.
Criteri per la scomposizione di un quadrinomio
Per scomporre un quadrinomio con la formula del cubo di binomio, dobbiamo verificare se nel quadrinomio sono presenti due cubi. In tal caso, calcoliamo il triplo prodotto tra il quadrato della prima base e la seconda base e il triplo prodotto tra la prima base e il quadrato della seconda base. Se i risultati coincidono con gli altri due termini del polinomio di partenza, allora il quadrinomio è lo sviluppo del cubo di un binomio, e può essere scomposto come tale.
Come calcolare il cubo di un binomio
Per calcolare il cubo di un binomio si parte da due monomi non simili tra loro, A e B, e si considera il binomio dato dalla loro somma, A+B. Il cubo di questo binomio, (A+B)^3, si può calcolare applicando la regola per il prodotto tra polinomi:
(A+B)^3 = (A+B)(A+B)(A+B) = (A^2+AB+AB+B^2)(A+B) = (A^2+2AB+B^2)(A+B) = A^3+A^2B+2A^2B+2AB^2+AB^2+B^3 = A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3
Un altro modo per calcolare il cubo di un binomio consiste nell’applicare direttamente la formula:
(A+B)^3 = A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3
Cubo di un binomio con differenza
Se si deve sviluppare il cubo di un binomio differenza (A-B)^3, si può fare affidamento alla seguente regola di sviluppo:
(A-B)^3 = A^3-3 A^2 B+3 A B^2-B^3
Errori frequenti nello sviluppo del cubo di binomio
Gli errori di segno sono comuni quando si affrontano gli esercizi sul cubo di binomio. Inoltre, è facile dimenticare di moltiplicare per 3 i prodotti o di dimenticarsene completamente. Per evitare questi errori, bisogna esercitarsi continuamente e fare molta attenzione. In generale, il cubo di binomio è composto da 4 termini, quindi è un quadrinomio.
Scomposizione con il cubo di binomio
La formula del cubo di binomio fornisce anche un metodo di scomposizione dei polinomi. La regola per lo sviluppo del cubo di un binomio è:
(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3
In altri termini, questa formula permette di esprimere un particolare tipo di quadrinomio nel prodotto di tre polinomi di grado inferiore. Quindi, quando si deve scomporre un polinomio in un prodotto di polinomi di grado inferiore, bisogna controllare se il quadrinomio è riconducibile a un cubo di binomio. In caso affermativo, si può scomporre il polinomio come cubo del binomio formato dalle due basi.
Scomposizione del cubo di un binomio
Cosa è il cubo di un binomio?
Il cubo di un binomio è il prodotto tra un binomio e se stesso elevato alla terza potenza. Ad esempio, il cubo di (a+b) è (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.
Come scomporre il cubo di un binomio?
Una tecnica comune per scomporre il cubo di un binomio è il raccoglimento totale. Questa tecnica consiste nel cercare il massimo comune divisore tra i termini del polinomio, che è spesso un monomio. Si può quindi riscrivere il polinomio come prodotto tra il monomio comune e un polinomio composto dai restanti termini.
Esempio di scomposizione del cubo di un binomio
Consideriamo il seguente polinomio:
54a^(10)b-2ab^7-54a^7b^3+18a^4b^5
Possiamo notare che i termini hanno in comune il fattore 2ab, quindi possiamo riscriverlo come prodotto tra un monomio e un polinomio:
2ab(27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4)
Ora possiamo applicare la tecnica di raccoglimento totale al polinomio tra parentesi:
27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4 = (3a^3-b^2)^3
Pertanto, il polinomio originale può essere scomposto come:
54a^(10)b-2ab^7-54a^7b^3+18a^4b^5 = 2ab(27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4) = 2ab(3a^3-b^2)^3
Fonte: YouMath
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