Fisica

MOTO ARMONICO

Il moto armonico è un tipo di moto rettilineo che si ottiene proiettando il moto di un corpo che si muove di moto circolare uniforme. Questo tipo di moto viene descritto mediante la formula x=Acos(ωt+Φ), nota come legge oraria del moto armonico.

MOTO ARMONICO
MOTO ARMONICO

Nonostante sia uno degli argomenti più importanti della Cinematica, il moto armonico non è difficile da comprendere. In realtà, è un modello fondamentale in Fisica e viene ripreso e studiato in numerose applicazioni successive.

Definizione di moto armonico

Il moto armonico è un tipo di moto oscillatorio in cui la posizione di un oggetto varia nel tempo secondo una funzione matematica sinusoidale. Questo tipo di moto può essere descritto come la proiezione lungo una retta di un punto che si muove di moto circolare uniforme.

Come funziona il moto armonico

Per comprendere il funzionamento del moto armonico, è possibile fare riferimento a un modello concreto come ad esempio un pendolo. Quando un pendolo viene spostato dalla posizione di equilibrio e poi rilasciato, inizia a oscillare avanti e indietro lungo una traiettoria curva.

In questo caso, il moto armonico può essere descritto come la proiezione della traiettoria curva del pendolo lungo una retta. Il pendolo raggiunge la massima velocità quando passa attraverso la posizione di equilibrio, mentre la sua velocità è pari a zero quando raggiunge l’estremo della sua traiettoria.

Analisi grafica del moto armonico

Per visualizzare il comportamento di un oggetto che si muove di moto armonico, è possibile utilizzare diversi grafici. Il grafico della posizione rispetto al tempo, ad esempio, mostra come la posizione dell’oggetto varia nel tempo. Questo grafico mostra una curva sinusoidale, che rappresenta la funzione matematica che descrive il moto armonico.

Analisi grafica del moto armonico
Analisi grafica del moto armonico

Il grafico della velocità rispetto al tempo, invece, mostra come la velocità dell’oggetto varia nel tempo. Questo grafico ha la forma di una curva a campana, dove la velocità massima è raggiunta quando l’oggetto passa attraverso la posizione di equilibrio.

Il moto armonico – YouTube

Cos’è il moto armonico

Il moto armonico è un tipo di moto oscillatorio in cui la posizione di un oggetto varia nel tempo secondo una funzione matematica sinusoidale. Questo tipo di moto può essere descritto come la proiezione lungo una retta di un punto che si muove di moto circolare uniforme.

Modello del moto armonico

Per comprendere come funziona il moto armonico, consideriamo un punto P che si muove lungo una circonferenza di moto circolare uniforme. Il punto P parte dalla posizione A e gira in senso antiorario. Ora consideriamo il punto Q che è la proiezione di P sul diametro AB della circonferenza e cerchiamo di capire come si muove Q lungo il diametro man mano che P ruota.

Equazioni del moto armonico

La posizione di Q lungo il diametro può essere espressa come x = rcos(α), dove r è il raggio della circonferenza e α è l’angolo formato dalla posizione di P rispetto all’asse orizzontale. La velocità di Q può essere espressa come v = v_Psin(α), dove v_P è la velocità di P lungo la circonferenza.

Analisi del moto armonico

Nel moto dalla posizione iniziale A al centro della circonferenza il punto Q è partito da fermo e ha progressivamente incrementato la sua velocità, subendo un’accelerazione. Continuando a seguire P nel suo moto lungo l’arco CB, Q avrà una velocità minore rispetto a quando si trovava in C. Il punto Q da A a O ha accelerato fino a raggiungere nel centro la sua velocità massima, mentre da O a B decelera fino a fermarsi in B. Il punto Q si muoverà nello stesso modo in cui si è mosso da A a B quando P si muove lungo la semicirconferenza inferiore da B ad A.

Formule del moto armonico

Periodo e frequenza

Il periodo T del moto armonico rappresenta il tempo necessario per completare un’oscillazione completa, mentre la frequenza f rappresenta il numero di oscillazioni complete effettuate in un secondo. Le formule sono le seguenti:

T = (1)/(f) ; f = (1)/(T) ; T = (2π)/(ω)

Pulsazione e ampiezza

La pulsazione ω del moto armonico è definita come la variazione angolare dell’oggetto oscillante rispetto al tempo. L’ampiezza A del moto armonico rappresenta il massimo spostamento dall’equilibrio. Le formule sono le seguenti:

ω = (2π)/(T) ; ω = 2π f ; A = r

Legge oraria del moto armonico

La legge oraria del moto armonico descrive la posizione dell’oggetto oscillante in funzione del tempo. La formula generale è:

x(t) = Acos(ω t+φ)

Dove φ rappresenta la costante di fase, che indica la posizione iniziale dell’oggetto oscillante rispetto alla sua posizione di equilibrio. In alcuni casi, la legge oraria può essere espressa con la funzione seno al posto del coseno, ma il risultato è lo stesso.

Velocità e accelerazione

La velocità v dell’oggetto oscillante è data dalla derivata della sua posizione rispetto al tempo. La velocità massima v_max è raggiunta quando l’oggetto passa attraverso la posizione di equilibrio. L’accelerazione a dell’oggetto oscillante è data dalla derivata seconda della sua posizione rispetto al tempo. L’accelerazione massima a_max è raggiunta quando l’oggetto si trova al massimo spostamento dall’equilibrio. Le formule sono le seguenti:

v = -A ω sin(ω t+φ) ; v_(max) = ω A ; a = -A ω^(2) cos(ω t+φ) ; a_(max) = Aω^2

Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_armonico

Esempi sul moto armonico

Ecco alcuni esempi per illustrare come applicare le formule del moto armonico in situazioni specifiche.

Esempio 1

Dati: x(t) = (0,7 m)·cos (2 : (rad)/(s)·t+0,75 rad)

Trovare i valori di A, ω e φ.

Soluzione: confrontando la legge oraria con la formula generale, possiamo ricavare i seguenti valori: A = 0,7 m, ω = 2 (rad)/(s), φ = 0,75 rad.

Esempio 2

Dati: x(t) = (3 m)·cos (0,95 : (rad)/(s)·t+0,2 rad), t = 4 s

Trovare la posizione del punto in un dato istante.

Soluzione: sostituendo il valore di t nella legge oraria, possiamo calcolare la posizione del punto: x(4) = (3 m)·cos (0,95 : (rad)/(s)·4 s+0,2 rad) ≃ -1,96 m. Il valore negativo indica che il punto si trova sul semiasse delle ascisse negative rispetto all’origine del sistema di riferimento sull’asse x.

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Jesse

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