La velocità angolare è una grandezza che misura la velocità di un punto materiale in movimento lungo una circonferenza. Essa viene calcolata come il rapporto tra l’angolo descritto dal punto materiale e l’intervallo di tempo impiegato a descriverlo, ovvero come ω=Δθ/Δt.
Questa lezione fornisce un riassunto delle principali grandezze introdotte nello studio del moto circolare, che avviene lungo una circonferenza. In particolare, ci concentreremo sulle definizioni di velocità angolare nel moto circolare uniforme e nel moto circolare uniformemente accelerato, anche se tale grandezza può essere definita per qualsiasi tipo di moto circolare.
La velocità angolare: definizione e formule
Introduzione
La velocità angolare è una grandezza fisica che si utilizza per descrivere il moto circolare di un oggetto. Essa è definita come il rapporto tra l’angolo descritto dal punto in movimento su una circonferenza e il tempo impiegato per descrivere tale angolo.
Velocità angolare media
La velocità angolare media si calcola dividendo l’angolo descritto dal punto sulla circonferenza per il tempo impiegato a descriverlo. La formula della velocità angolare media è:
ω_(m) = (Δ θ)/(Δ t)
dove ω_m rappresenta la velocità angolare media, Δθ l’angolo descritto dal punto sulla circonferenza e Δt l’intervallo di tempo impiegato dal punto per descrivere l’angolo Δθ. L’unità di misura della velocità angolare media è il radiante al secondo (rad/s).
Esempio di calcolo della velocità angolare media
Supponiamo che un punto, muovendosi lungo una circonferenza, abbia descritto un angolo di 60° in 2 secondi. Per calcolare la velocità angolare media, dobbiamo convertire l’angolo in radianti utilizzando la proporzione:
α° : 180° = α^(rad) : π
Svolgendo i conti, otteniamo:
60° : 180° = α^(rad) : π → α^(rad) = (60° π)/(180°) = (π)/(3)
Ora possiamo calcolare ω:
ω_(m) = (Δ θ)/(Δ t) = ((π)/(3))/(2 s) = (π)/(6) (rad)/(s) ≃ 0,52 (rad)/(s)
Ciò significa che il punto in media ha descritto un angolo di circa mezzo radiante ogni secondo.
MCU Velocità angolare – YouTube
Velocità angolare istantanea
Nel caso in cui la velocità angolare sia variabile nel tempo, si parla di velocità angolare istantanea. Essa è definita come il limite della velocità angolare media quando l’intervallo di tempo considerato tende a zero. In formule:
ω = lim_(Δt → 0) (Δ θ)/(Δ t)
dove ω rappresenta la velocità angolare istantanea.
Conclusione
La velocità angolare è una grandezza fondamentale per descrivere il moto circolare di un oggetto. La sua definizione si basa sul concetto di angolo descritto dal punto sulla circonferenza e sul tempo impiegato a descriverlo. La velocità angolare media e quella istantanea si differenziano per la durata dell’intervallo di tempo considerato.
Velocità angolare istantanea
Introduzione
Nel moto circolare, la velocità angolare è una grandezza importante che indica la velocità con cui un punto si muove lungo una circonferenza. Nell’esempio precedente abbiamo visto come calcolare la velocità angolare media, ma essa non ci dice nulla sulla possibile variazione di velocità durante il moto.
Velocità angolare istantanea
Per conoscere il valore della velocità angolare in un istante di tempo preciso, dobbiamo fare riferimento alla velocità angolare istantanea. Essa è definita come il limite della velocità angolare media quando l’intervallo di tempo considerato tende a zero.
In formule:
ω = lim_(Δt → 0) (Δ θ)/(Δ t)
dove ω rappresenta la velocità angolare istantanea. La notazione lim indica che l’intervallo di tempo Δt tende a zero.
La velocità istantanea può essere anche espressa come:
ω = (d θ)/(d t)
dove la lettera d indica una variazione infinitesima della grandezza che segue. La velocità angolare istantanea è quindi la derivata della posizione angolare rispetto al tempo.
Esempio di calcolo della velocità angolare istantanea
Supponiamo che l’angolo descritto dal punto sulla circonferenza sia espresso dalla funzione θ(t) = 3t^2, dove t è il tempo in secondi. Per calcolare la velocità angolare istantanea, dobbiamo derivare questa funzione rispetto al tempo:
(d θ)/(d t) = 6t
Quindi, la velocità angolare istantanea al tempo t=2 secondi sarà:
ω = (d θ)/(d t) = 6t = 6(2) = 12 (rad/s)
Conclusione
La velocità angolare istantanea ci fornisce informazioni sulla variazione di velocità di un punto in un istante di tempo preciso. Essa si ottiene calcolando il limite della velocità angolare media quando l’intervallo di tempo tende a zero o derivando la posizione angolare rispetto al tempo.
Velocità angolare nel MCU e nel MCUA
Velocità angolare nel MCU
Nel moto circolare uniforme (MCU), la velocità tangenziale del punto che si muove sulla circonferenza rimane costante in modulo. Ciò significa che la velocità angolare è costante, e si può calcolare facilmente conoscendo il periodo del movimento.
La formula per calcolare la velocità angolare nel MCU è:
ω = (2 π)/(T)
dove ω rappresenta la velocità angolare, e T il periodo del movimento.
Inoltre, esiste una relazione tra la velocità tangenziale v e la velocità angolare ω:
v = ω r ; ω = (v)/(r)
dove r è il raggio della circonferenza.
Esempio di calcolo della velocità angolare nel MCU
Supponiamo che un punto compia un giro completo in 10 secondi. Calcoliamo la velocità angolare del punto:
ω = (2 π)/(T) = (2 π)/(10 s) ≃ 0,63 (rad)/(s)
Velocità angolare nel MCUA
Nel moto circolare uniformemente accelerato (MCUA), la velocità tangenziale del punto che si muove sulla circonferenza non rimane costante in modulo, ma varia nel tempo. Ciò significa che la velocità angolare non è costante, ma varia nel tempo.
Esistono due formule che permettono di calcolare la velocità angolare nel MCUA:
θ = (1)/(2) α t^(2)+ω(0)t+θ(0) ; ω = ω_(0)+α t
dove α rappresenta l’accelerazione angolare costante nel tempo, t il tempo trascorso, θ l’angolo finale, θ_0 quello iniziale, ω_0 la velocità angolare iniziale e ω quella finale.
Esempio di calcolo della velocità angolare nel MCUA
Supponiamo che un punto parta da fermo con angolo iniziale nullo e sia soggetto a un’accelerazione angolare di 2,5 rad/s^2 per 3 secondi. Calcoliamo la velocità angolare finale del punto utilizzando la seconda formula del sistema:
ω = ω_(0)+α t = 0+2,5 (rad)/(s^2)·3 s = 7,5 (rad)/(s)
Conclusione
La velocità angolare è una grandezza fondamentale per lo studio del moto circolare, sia uniforme che uniformemente accelerato. Nel MCU, la velocità angolare è costante e si può calcolare conoscendo il periodo del movimento. Nel MCUA, invece, la velocità angolare varia nel tempo e può essere calcolata attraverso due formule che vanno usate a sistema.
Formule della velocità angolare
Ecco un riepilogo di tutte le formule della velocità angolare che abbiamo visto finora:
Velocità angolare media
La formula per la velocità angolare media è:
ω_(m) = (Δ θ)/(Δ t) = (θ_f-θ_i)/(t_f-t_i)
dove ω_m rappresenta la velocità angolare media, Δθ l’angolo descritto dal punto lungo la circonferenza, e Δt l’intervallo di tempo impiegato dal punto per descrivere l’angolo Δθ.
Velocità angolare istantanea
La formula per la velocità angolare istantanea è:
ω = lim_(Δ t → 0) (Δ θ)/(Δ t)
dove ω rappresenta la velocità angolare istantanea, e la dicitura lim indica che l’intervallo di tempo Δt tende a zero.
Velocità angolare nel MCU (costante)
La formula per la velocità angolare nel moto circolare uniforme (MCU) è:
ω = (2 π)/(T)
dove ω rappresenta la velocità angolare e T il periodo del movimento.
Formula alternativa per la velocità angolare nel MCU (costante)
Esiste anche una formula alternativa per calcolare la velocità angolare nel MCU in funzione della velocità tangenziale:
ω = (v)/(r)
dove v rappresenta la velocità tangenziale del punto che si muove sulla circonferenza, e r il raggio della circonferenza.
Inoltre, la velocità angolare nel MCU può essere espressa in funzione dell’accelerazione centripeta a_c:
ω = √((a_(c))/(r))
Velocità angolare nel MCUA (non costante)
La velocità angolare nel moto circolare uniformemente accelerato (MCUA) non è costante nel tempo. Per calcolarla, sono necessarie due formule che vanno usate a sistema. La prima formula permette di calcolare l’angolo finale (θ) in funzione dell’accelerazione angolare costante (α), del tempo trascorso (t), dell’angolo iniziale (θ_0) e della velocità angolare iniziale (ω_0):
θ = (1)/(2) α t^(2)+ω(0)t+θ(0)
La seconda formula permette di calcolare la velocità angolare finale (ω) in funzione dell’accelerazione angolare costante (α), del tempo trascorso (t) e della velocità angolare iniziale (ω_0):
ω = ω_(0)+α t
Nel moto circolare uniforme (MCU), invece, la velocità angolare è costante e può essere calcolata conoscendo il periodo del movimento.
Conoscere le formule della velocità angolare è fondamentale per lo studio del moto circolare. Attraverso le formule della velocità angolare media e istantanea, è possibile capire come varia la velocità angolare nel tempo. Nel MCUA, la velocità angolare non è costante nel tempo e va calcolata attraverso le formule sopra indicate.
Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_angolare
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