Le formule di duplicazione sono espressioni trigonometriche utili per il calcolo del seno, coseno, tangente e cotangente del doppio dell’angolo α. Queste formule possono essere espresse in termini di funzioni trigonometriche valutate nell’angolo α. Nella seguente lezione, presenteremo le formule di duplicazione per il seno, il coseno e la tangente, e spiegheremo dettagliatamente come utilizzarle negli esercizi e in generale, evidenziando la loro utilità pratica. In questo modo, forniremo un’ampia comprensione di queste formule senza ripetere le informazioni già fornite.
Formule di duplicazione delle funzioni goniometriche
Premessa
Le formule di duplicazione permettono di calcolare il seno, il coseno e la tangente del doppio dell’angolo dato, ovvero di 2α. Tuttavia, è importante notare che non è possibile portare fuori dall’argomento gli eventuali coefficienti dell’angolo. Pertanto, il seno, il coseno, la tangente e tutte le altre funzioni goniometriche nel doppio di un angolo non equivalgono al doppio della medesima funzione valutata nell’angolo.
Formule di duplicazione
Ecco le formule di duplicazione per le funzioni goniometriche:
Seno
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
Coseno
cos(2α) = cos^2(α) – sin^2(α) = 2cos^2(α) – 1 = 1 – 2sin^2(α)
Formule di Duplicazione in Goniometria: Dimostrazione Seno Coseno e Tangente – YouTube
Tangente
tan(2α) = (2tan(α))/(1 – tan^2(α))
Esempio
Per mostrare che sin(2α) ≠ 2sin(α) basta considerare un controesempio. Se consideriamo l’angolo α = 30°, sappiamo bene che il seno di 30° vale sin(α) = sin(30°) = (1)/(2). D’altra parte, 2α = 2·30° = 60° → sin(2α) = sin(60°) = (√(3))/(2).
Risulta quindi evidente che, per α = 30°: sin(2α) = sin(60°) = (√(3))/(2) ≠ 2sin(α) = 2sin(30°) = 2·(1)/(2) = 1. Con un controesempio del tutto analogo si giunge alla stessa conclusione per il coseno, per la tangente e per le altre funzioni goniometriche.
Formule di duplicazione per seno, coseno e tangente
Introduzione
Le formule di duplicazione per le funzioni goniometriche sono utili per trovare il seno, il coseno e la tangente del doppio di un angolo α. Esistono formule specifiche per ciascuna funzione goniometrica, e nel seguito vedremo quali sono e come utilizzarle.
Formula di duplicazione del seno
La formula di duplicazione del seno è la seguente:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
Per una spiegazione pratica dell’applicazione di questa formula, è possibile fare riferimento alla ricerca del seno di 2x.
Formula di duplicazione del coseno
Le formule di duplicazione del coseno sono tre, e sono equivalenti:
cos(2α) = (1) cos^2(α)-sin^2(α) ; (2) 1-2sin^2(α) ; (3) 2cos^2(α)-1
La scelta della formula dipende dal contesto specifico. Per una spiegazione pratica dell’applicazione di queste formule, è possibile fare riferimento alla ricerca del coseno di 2x.
Formula di duplicazione della tangente
La formula di duplicazione della tangente è la seguente:
tan(2α) = (2tan(α))/(1-tan^2(α)) con α ≠ 45°+k 90° e α ≠ 90°+k180°
È importante notare che questa formula vale solo se le condizioni di esistenza sono soddisfatte, e queste si ricavano direttamente dalla definizione di tangente. In particolare, il sistema di condizioni è:
2α ≠ (π)/(2)+kπ, k ∈ Z ; α ≠ (π)/(2)+kπ, k ∈ Z ; 1-tan^2(α) ≠ 0
Per una spiegazione pratica dell’applicazione di questa formula, è possibile fare riferimento alla ricerca della tangente di 2x.
Formule di duplicazione per cotangente, secante e cosecante
Introduzione
Le formule di duplicazione per le funzioni goniometriche sono utili per trovare il valore di una funzione goniometrica del doppio di un angolo α. Nel caso della tangente, è possibile ricavarla facilmente dalla definizione. Nel seguito vedremo come ricavare le formule di duplicazione per la cotangente, la secante e la cosecante, e mostreremo alcuni esempi di applicazione.
Formule di duplicazione
Ecco le formule di duplicazione per le funzioni goniometriche:
Cotangente
cot(2α) = (cos(2α))/(sin(2α)) = (1)/(tan(2α))
Secante
sec(2α) = (1)/(cos(2α))
Cosecante
csc(2α) = (1)/(sin(2α))
Utilità delle formule di duplicazione
Le formule di duplicazione sono molto utili in numerosi problemi di matematica, dalla geometria alla trigonometria, fino all’analisi. Ad esempio, consentono di calcolare rapidamente alcune funzioni trigonometriche in corrispondenza di alcuni angoli non notevoli.
Esempio di applicazione
Per calcolare il coseno di 120°, possiamo utilizzare la formula di duplicazione del coseno:
cos(120°) = cos(2·60°) = cos^2(60°)-sin^2(60°) = ((1)/(2))^2-((√(3))/(2))^2 = (1)/(4)-(3)/(4) = -(1)/(2)
Dimostrazione delle formule di duplicazione
Formula di duplicazione del seno
Partiamo dalla formula di addizione del seno:
sin(α+β) = sin(α) cos(β)+cos(α) sin(β)
Sostituiamo β = α:
sin(α+α) = sin(α) cos(α)+cos(α) sin(α)
Otteniamo così:
sin(2α) = 2sin(α) cos(α)
che è la formula di duplicazione del seno.
Formula di duplicazione del coseno
Analogamente alla dimostrazione precedente, partiamo dalla formula di addizione del coseno:
cos(α+β) = cos(α) cos(β)-sin(α) sin(β)
Sostituiamo β = α:
cos(α+α) = cos(α) cos(α)-sin(α) sin(α)
Da cui:
cos(2α) = cos^2(α)-sin^2(α)
Questa è la prima delle tre formulazioni equivalenti. Per ottenere le altre due, utilizziamo la formula fondamentale della trigonometria:
cos^2(α)+sin^2(α) = 1
Da cui:
cos^2(α) = 1-sin^2(α) ; sin^2(α) = 1-cos^2(α)
Sostituendole nella prima formulazione otteniamo:
cos(2α) = 1-2sin^2(α) ; cos(2α) = 2cos^2(α)-1
Che sono le altre due formulazioni equivalenti della formula di duplicazione del coseno.
Dimostrazione della formula di duplicazione della tangente
Esistono due modi equivalenti per dimostrare la formula di duplicazione della tangente:
1) Utilizzo della formula di addizione della tangente
Questa dimostrazione utilizza la formula di addizione della tangente, che si può trovare su diversi libri di testo di matematica. In questo caso non verrà riportata la dimostrazione dettagliata.
2) Utilizzo della definizione di tangente
Si parte dalla definizione di tangente:
tan(α) = sin(α)/cos(α)
Applicando la formula di duplicazione del seno e del coseno, si ha:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α) e cos(2α) = cos^2(α)-sin^2(α)
Si sostituiscono questi valori nella formula di duplicazione della tangente:
tan(2α) = (sin(2α))/(cos(2α))
che diventa:
tan(2α) = (2 sin(α) cos(α))/(cos^2(α)-sin^2(α))
A questo punto, si divide numeratore e denominatore per cos^2(α), con la condizione di esistenza α ≠ 90°+k180°:
tan(2α) = ((2sin(α)cos(α))/(cos^2(α)))/((cos^2(α))/(cos^2(α))-(sin^2(α))/(cos^2(α)))
Semplificando si ottiene:
tan(2α) = ((2sin(α))/(cos(α)))/(1-(sin^2(α))/(cos^2(α)))
E infine:
tan(2α) = (2 tan(α))/(1-tan^2(α))
Fonte: youmath.it
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