La distanza di un punto P(xP,yP) da una retta r:ax+by+c=0, nota anche come distanza punto-retta, si calcola tramite la formula d(P,r)=|axP+byP+c|/√(a2+b2). Tale formula rappresenta la minima distanza tra il punto P e la retta r. Inoltre, abbiamo già visto la formula per calcolare la distanza punto-punto. Tuttavia, concentriamoci ora sulla distanza punto-retta, che presenta due varianti a seconda che la retta sia espressa in forma implicita o esplicita.
Per la forma implicita r:ax+by+c=0, si utilizza la formula sopracitata, mentre per la forma esplicita r:y=mx+q, si utilizza la formula d(P,r)=|mx-yP+q|/√(m2+1). Queste formule sono essenziali in diversi contesti, come ad esempio nell’analisi di dati statistici o nella geometria analitica.
Definizione di distanza punto retta
In geometria analitica, la distanza punto retta rappresenta la distanza minima tra un punto P e tutti i punti che si trovano su una retta r nel piano cartesiano.
Formula
La distanza punto retta d(P,r) può essere espressa come:
d(P,r) = mind(P,Q) tale che Q∈ r
Q è il punto sulla retta r che si trova alla minima distanza dal punto P.
In modo del tutto equivalente si può definire la distanza di un punto da una retta come la distanza tra il punto P dalla sua proiezione ortogonale sulla retta r, vale a dire la lunghezza del segmento PP’ che congiunge il punto P perpendicolarmente alla retta.
Caso particolare
Se il punto P appartiene alla retta r, la distanza d(P,r) sarà per definizione nulla: d(P,r) = 0.
La distanza punto retta è un importante concetto geometrico applicato in vari campi come la fisica, la matematica e l’ingegneria.
Fonte: Wikipedia
DISTANZA PUNTO RETTA _ PC85 – YouTube
Formule per la distanza punto retta
Ora che abbiamo visto la definizione della distanza punto retta, possiamo passare alle formule che permettono di calcolarla. Sia P il punto, le cui coordinate cartesiane sono indicate con (x_P,y_P), e sia r la retta.
Forma implicita
Se l’equazione della retta r è data in forma implicita ax+by+c=0, la formula per calcolare la distanza del punto P dalla retta r è:
d(P,r) = (|ax_P+by_P+c|)/(√(a^2+b^2))
Dove il numeratore è il valore assoluto del primo membro dell’equazione della retta in forma implicita nelle coordinate del punto, e il denominatore è la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti associati ai termini di grado 1 nell’equazione della retta.
Forma esplicita
Se l’equazione della retta r è data in forma esplicita y=mx+q, la formula per calcolare la distanza del punto P dalla retta r è:
d(P,r) = (|y_P-(mx_P+q)|)/(√(1+m^2))
In questo caso si riscrive l’equazione in forma esplicita portando tutto al primo membro, si valuta nelle coordinate del punto e si considera il modulo. Il tutto viene poi diviso per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti dei termini di grado 1 nell’equazione della retta.
Osservazione: quale formula della distanza punto retta conviene prediligere?
Sebbene esistano due formule equivalenti per calcolare la distanza di un punto da una retta nel piano cartesiano, conviene prediligere la formula per la distanza di un punto da una retta in forma implicita.
In questo modo, potremo ricordare una sola formula e applicarla a qualsiasi equazione di retta data in forma esplicita.
Supponiamo ad esempio di dover calcolare la distanza di un punto da una retta in forma esplicita y=mx+q:
1. Effettuare alcuni passaggi algebrici per esprimere la retta in forma implicita e per ordinare i vari termini:
-mx+y-q=0
2. Applicare la formula per la distanza di un punto da una retta in forma implicita:
d(P,r) = (|ax_P+by_P+c|)/(√(a^2+b^2)) → d(P,r) = (|-m·x_P+1·y_P-q|)/(√((-m)^2+1^2))
Come si può notare, otteniamo proprio la formula 2) dalla formula 1)!
Seguendo questo principio, potremo applicare sempre la stessa formula e minimizzare gli sforzi di memorizzazione.
Esempi sul calcolo della distanza punto retta
Ecco due esempi per illustrare come si calcola la distanza punto retta, uno con una retta data in forma implicita e l’altro in forma esplicita.
Esempio 1
Calcolare la distanza del punto P = (1,4) dalla retta r di equazione 2x-3y+5=0
Svolgimento:
Applichiamo la formula per la distanza punto retta in forma implicita:
d(P,r) = (|2·1-3·4+5|)/(√(2^2+(-3)^2)) = (|2-12+5|)/(√(4+9)) = (|-5|)/(√(13)) = (5)/(√(13))
Esempio 2
Calcolare la distanza del punto P = (-2,-3) dalla retta r di equazione y=(x/3)+(2/3)
Svolgimento:
Scriviamo l’equazione della retta in forma implicita:
y = (x/3)+(2/3) → -(x/3)+y-(2/3) = 0
Moltiplichiamo entrambi i membri per -3 per eliminare le frazioni:
x-3y+2=0
Applichiamo la formula per la distanza punto retta in forma implicita:
d(P,r) = (|1·(-2)-3·(-3)+2|)/(√(1^2+(-3)^2)) = (|-2+9+2|)/(√(1+9)) = (|9|)/(√(10)) = (9)/(√(10))
Dimostrazione della formula della distanza punto retta
La dimostrazione della formula per la distanza punto retta si basa sull’idea di considerare l’equazione della retta in forma implicita e le coordinate di un punto P = (x_P, y_P).
Per determinare la distanza punto retta, dobbiamo individuare la retta s perpendicolare a r e passante per il punto P.
Per individuare tale retta, ci servono due condizioni per due parametri incogniti: m e q.
La prima condizione riguarda il passaggio per il punto P e la seconda condizione riguarda il fatto che s sia una retta perpendicolare a r.
Metodo:
- Scrivere l’equazione della retta r in forma implicita
- Determinare le equazioni di s conoscendo m e q
- Ricavare m e q imponendo che s passi per il punto P e sia perpendicolare a r
- Trovare le coordinate del punto di intersezione tra r e s, che rappresenta la proiezione ortogonale del punto P sulla retta r
- Calcolare la distanza tra P e la sua proiezione sulla retta r utilizzando la formula per la distanza tra due punti.
La dimostrazione si basa sull’applicazione diretta della definizione e della formula per la distanza tra due punti.
Approfondimento: distanza di un punto da una retta nello spazio
Nello spazio euclideo E^3, la formula per la distanza punto-retta non è immediatamente disponibile, ma possiamo calcolarla attraverso considerazioni geometriche relativamente semplici. Ciò è spiegato in dettaglio in questa guida di YouMath.
Inoltre, c’è una corrispondenza tra la formula per la distanza punto-retta e quella per la distanza punto-piano. Date le coordinate di un punto P e l’equazione cartesiana di un piano, la distanza del punto dal piano considerati si determina mediante la formula
d(P,π) = (|ax_P+by_P+cz_P+d|)/(√(a^2+b^2+c^2))
Anche in questo caso, se il punto P appartiene al piano, la distanza è per definizione nulla.
Fonte: YouMath
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