EQUAZIONE DELLA RETTA

L’equazione della retta nel piano cartesiano è espressa come ax+by+c=0 e rappresenta il luogo geometrico di tutti i punti (x,y) che sono soluzioni dell’equazione di primo grado in due incognite. In altre parole, l’equazione di una retta identifica la retta stessa come insieme di punti.

In questo formulario, ampliamo il concetto di equazione della retta introdotto precedentemente, spiegando che una retta nel piano cartesiano può essere rappresentata da un’equazione che dipende dalle due variabili x ed y, ovvero l’ascissa e l’ordinata di un generico punto del piano. In particolare, esploreremo due forme di equazione della retta: l’equazione in forma implicita e quella in forma esplicita, illustrando diversi esempi ed esercizi risolti. In questo modo, sarà possibile comprendere appieno il concetto di equazione della retta e la sua applicazione nel piano cartesiano.

Equazione della retta in forma implicita ed esplicita

Definizione di retta

In geometria analitica, una retta nel piano cartesiano è il luogo geometrico dei punti allineati lungo una specifica direzione. Si tratta di un ente geometrico fondamentale costituito da un’infinità di punti allineati, privo di lunghezza e spessore.

Equazione della retta

Per descrivere una retta nel piano cartesiano, si può utilizzare un’equazione di primo grado in due incognite (x,y). L’equazione della retta permette di individuarla e di rappresentarla univocamente nel piano cartesiano, partendo dalla condizione di appartenenza dei punti, ovvero tutti e soli i punti (x,y) che appartengono alla retta sono tutti e soli i punti le cui coordinate x,y soddisfano l’equazione della retta.

Equazione della retta in forma implicita

L’equazione della retta in forma implicita è un’equazione della forma F(x,y) = 0, ovvero ax+by+c = 0, dove x,y sono variabili e a,b,c sono coefficienti numerici. Da notare che:

• Se b = 0, l’equazione della retta in forma implicita diventa ax+c = 0 e individua una retta verticale, riconducibile alla forma x = k e parallela all’asse delle ordinate;
• Se a = 0, l’equazione della retta in forma implicita diventa by+c = 0 e individua una retta orizzontale, riconducibile alla forma y = k e parallela all’asse delle ascisse.

Retta : come determinarne l’equazione – YouTube

Equazione della retta in forma esplicita

L’equazione della retta in forma esplicita è un’equazione della forma y = f(x), ed è del tipo y = mx+q, dove x,y sono variabili e m,q sono costanti. In particolare, m è detto coefficiente angolare della retta e q quota all’origine della retta.

Equazioni equivalenti

I due tipi di equazioni della retta sono distinti, ma naturalmente sono algebricamente equivalenti: si può sempre esprimere una delle due forme nell’altra procedendo con semplici passaggi algebrici.

Studiare e disegnare una retta a partire dall’equazione

Introduzione

L’equazione di una retta, sia in forma esplicita che implicita, contiene tutte le informazioni necessarie per individuare la retta stessa e per studiarla nel dettaglio attraverso l’uso di formule specifiche. In particolare, l’equazione della retta può essere utilizzata per ottenere una rappresentazione grafica della stessa nel piano cartesiano.

Procedura

Per disegnare una retta a partire dall’equazione in forma esplicita, basta seguire la seguente procedura:

1. Ricavare il coefficiente angolare m e la quota all’origine q dell’equazione y = mx + q, dove x e y sono le variabili dell’equazione.
2. Scegliere due valori di ascissa x1 e x2 e sostituirli nell’equazione per trovare le corrispondenti ordinate y1 e y2: y1 = mx1 + q e y2 = mx2 + q.
3. Disegnare i punti (x1, y1) e (x2, y2) nel piano cartesiano.
4. Connettere i due punti disegnando una linea retta che li unisce.

Nel caso di una retta verticale, l’equazione assume la forma x = k, dove k è la coordinata x del punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate. In questo caso, per disegnare la retta, basta tracciare una linea verticale passante per il punto di intersezione con l’asse delle ordinate.

Nel caso di una retta orizzontale, l’equazione assume la forma y = k, dove k è la coordinata y del punto in cui la retta interseca l’asse delle ascisse. In questo caso, per disegnare la retta, basta tracciare una linea orizzontale passante per il punto di intersezione con l’asse delle ascisse.

Conclusioni

In sintesi, l’equazione di una retta in forma esplicita permette di individuare la retta stessa e di disegnarla nel piano cartesiano. Seguendo la procedura descritta sopra, è possibile ottenere una rappresentazione grafica precisa e accurata della retta.

Fonte: https://www.matematika.it/analisi-matematica/studiare-e-disegnare-una-retta-a-partire-dall-equazione/

Esempi sull’equazione della retta

Introduzione

In questo articolo, vedremo alcuni esempi sull’equazione della retta e sul metodo per disegnare una retta a partire dall’equazione, indipendentemente che essa sia in forma implicita od esplicita.

Esempi

1. Assi cartesiani L’esempio più semplice è dato dagli assi cartesiani. Ricordiamoci sempre che l’equazione y = 0 individua l’asse delle ascisse, mentre x = 0 corrisponde all’asse delle ordinate.
2. Retta verticale Consideriamo l’equazione della retta x = 2. Poiché si tratta di una retta verticale (x = k), basta disegnare la retta parallela all’asse delle ordinate che interseca l’asse x nel punto di ascissa x = 2.
3. Retta orizzontale Consideriamo l’equazione della retta y = 2. Sapendo che le rette del tipo y = k sono necessariamente orizzontali, per ottenere una rappresentazione basta considerare la retta parallela all’asse delle ascisse passante per il punto di coordinate (0,2).
4. Equazione in forma esplicita Consideriamo l’equazione di una retta in forma esplicita, come ad esempio y = 2x – 5. Per disegnarla, basta scegliere due valori di ascissa comodi per i calcoli e calcolare le corrispondenti ordinate. Ad esempio, se x = 0, allora y = -5, e se x = 2, allora y = -1. La retta passa per i punti di coordinate (0,-5) e (2,-1) e può essere disegnata a partire dall’equazione.
5. Equazione in forma implicita Consideriamo l’equazione di una retta in forma implicita, come ad esempio 3x + 4y = 0. Scriviamo l’equazione in forma esplicita e scegliamo due valori di ascissa comodi per i calcoli. Ad esempio, se x = 0, allora y = 0, e se x = 4, allora y = -3. I punti che ci permettono di rappresentare la retta a partire dall’equazione sono (0,0) e (4,-3).
6. Verificare se un punto appartiene a una retta Per verificare se un punto P = (x_P,y_P) appartiene a una retta, indipendentemente dal fatto che la retta sia espressa in forma implicita o esplicita, basta sostituire l’ascissa x_P del punto P e l’ordinata y_P del punto P al posto delle variabili x,y nell’equazione della retta. Se l’equazione si trasforma in un’uguaglianza verificata, allora il punto appartiene alla retta; in caso contrario no.

Equazione della retta in forma implicita ed esplicita

In Geometria Analitica, l’equazione di una retta in forma implicita o esplicita contiene tutte le informazioni necessarie per individuarla univocamente nel piano cartesiano. L’equazione di una retta in forma implicita è un’equazione di primo grado in due incognite (x, y), nella forma F(x, y) = 0, ovvero ax + by + c = 0, dove a, b e c sono coefficienti numerici. L’equazione della retta in forma esplicita è y = mx + q, dove m è il coefficiente angolare e q la quota all’origine della retta.

Studiare e disegnare una retta a partire dall’equazione

È possibile usare l’equazione di una retta per ricavarne una rappresentazione grafica nel piano cartesiano. Per disegnare una retta a partire dall’equazione, è sufficiente seguire questo procedimento: sostituire due valori di ascissa scelti a piacere x1 e x2 (possibilmente comodi!) in modo da ricavare le corrispondenti ordinate y1 = mx1 + q e y2 = mx2 + q. Ciò ci permette di ottenere le coordinate di due punti (x1, y1) e (x2, y2). Per disegnare la retta, dobbiamo segnare i due punti nel piano cartesiano, congiungerli e prolungare il segmento ottenuto indefinitamente. Per le rette orizzontali (y = k) o verticali (x = k), la rappresentazione non richiede alcun calcolo ed è immediata.

Esempi sull’equazione della retta

Ecco alcuni esempi sull’equazione della retta:

1. Assi cartesiani: l’equazione y = 0 individua l’asse delle ascisse, mentre x = 0 corrisponde all’asse delle ordinate.
2. Retta verticale: l’equazione x = 2 individua una retta verticale. Disegniamo la retta parallela all’asse delle ordinate che interseca l’asse x nel punto di ascissa x = 2.
3. Retta orizzontale: l’equazione y = 2 individua una retta orizzontale. Disegnamo la retta parallela all’asse delle ascisse passante per il punto di coordinate (0, 2).
4. Retta in forma esplicita: l’equazione y = 2x – 5 ci permette di ricavare le coordinate dei punti (0, -5) e (2, -1) e disegnare la retta.
5. Retta in forma implicita: l’equazione 3x + 4y = 0 può essere scritta in forma esplicita come y = -(3/4)x e ci permette di ricavare i punti (0, 0) e (4, -3) per disegnare la retta.

Equazione parametrica della retta nel piano

Introduzione

In geometria analitica, una retta del piano cartesiano è univocamente determinata quando conosciamo le coordinate cartesiane di un suo punto e la sua direzione individuata da un vettore del piano. L’equazione parametrica della retta nel piano è una delle rappresentazioni matematiche che ci permette di descrivere la retta e di individuare tutti i suoi punti.

Equazione parametrica della retta

Conoscendo le coordinate cartesiane di un punto P(x₀, y₀) e la direzione della retta data dal vettore v = (v₁, v₂), l’equazione parametrica della retta può essere scritta come:

x = x₀ + t*v₁

y = y₀ + t*v₂

dove t è un parametro reale. La retta è quindi descritta dall’insieme di tutti e soli i punti che vi appartengono; tali punti si ottengono al variare del parametro t nell’insieme dei numeri reali.

Osservate che per t = 0 si ottiene il punto P(x₀,y₀).

Ricavare la direzione della retta

La conoscenza delle coordinate di due punti della retta, P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂,y₂), ci permette di individuare la direzione della retta che è data dal vettore del piano:

v = (v₁, v₂) = P₂ – P₁ = (x₂ – x₁, y₂ – y₁)

oppure

v = (v₁, v₂) = P₁ – P₂ = (x₁ – x₂, y₁ – y₂)

Ricordate che la direzione di una retta è unica a meno di un coefficiente di proporzionalità e, le due direzioni così ricavate, differiscono per la costante moltiplicativa -1.

Conclusione

L’equazione parametrica della retta nel piano è una rappresentazione matematica utile per descrivere la retta e individuare tutti i suoi punti. Anche se l’argomento può essere affrontato principalmente nei corsi universitari, è comunque importante comprendere i concetti di base delle equazioni parametriche della retta nel piano.

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