L’equazione di una retta passante per due punti distinti può essere calcolata utilizzando la formula (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1), a condizione che i punti considerati non siano allineati, né orizzontalmente né verticalmente. Questa formula è ampiamente utilizzata nei problemi di Geometria Analitica e pertanto è importante tenerla a mente. Essa permette di determinare l’equazione di una retta conoscendo le coordinate cartesiane di due punti appartenenti ad essa.
Equazione della retta passante per due punti
In geometria analitica, l’equazione della retta passante per due punti del piano cartesiano può essere determinata attraverso una semplice formula. Prima di tutto, è importante ricordare che dati due punti nel piano cartesiano di coordinate A = (x1, y1) e B = (x2, y2), esiste una e una sola retta passante per i due punti dati.
Formula
Per determinare l’equazione della retta passante per due punti di cui si conoscono le coordinate, possiamo utilizzare la seguente formula:
(x – x1)/(x2 – x1) = (y – y1)/(y2 – y1)
Tuttavia, questa formula vale solo nel caso in cui x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2, ovvero se i due punti non sono allineati verticalmente né orizzontalmente.
Retta passante per due punti allineati verticalmente
Se i due punti sono allineati verticalmente, cioè se x1 = x2 e y1 ≠ y2, allora l’equazione della retta passante per i due punti è data da:
x = x1
Equazione della retta passante per due punti – YouTube
Retta passante per due punti allineati orizzontalmente
Se invece i due punti sono allineati orizzontalmente, cioè se y1 = y2 e x1 ≠ x2, allora l’equazione della retta passante per i due punti è data da:
y = y1
Osservazione
È importante notare che l’unico caso non contemplato è quello per cui x1 = x2 e y1 = y2, ovvero se i due punti sono coincidenti. In tal caso, non esiste una sola retta passante per il punto dato. L’unica possibilità per individuare univocamente una retta passante per un punto richiede di conoscere anche il coefficiente angolare, come spiegato nel formulario sulla retta passante per un punto.
Esempi sulla retta passante per due punti
Il calcolo dell’equazione della retta passante per due punti assegnati è un argomento importante in geometria analitica. Vediamo ora alcuni esempi significativi su come determinare l’equazione della retta passante per due punti dati.
Esempio 1
Determinare la retta passante per i due punti P1 = (2,-3), P2 = (2,4).
Svolgimento: Poiché x1 = x2, si deduce che i due punti sono allineati verticalmente. Pertanto, l’equazione della retta passante per i due punti assegnati è data da:
x = 2
Esempio 2
Scrivere l’equazione della retta per i due punti P1 = (3,-1), P2 = (0,-1).
Svolgimento: Dal momento che y1 = y2, si capisce che i due punti sono allineati orizzontalmente. Pertanto, l’equazione della retta passante per i due punti assegnati è data da:
y = -1
Esempio 3
Determinare l’equazione della retta passante per i due punti P1 = (2,-3), P2 = (3,-1).
Svolgimento: I due punti non sono allineati e quindi procediamo direttamente con la formula:
(x – x1)/(x2 – x1) = (y – y1)/(y2 – y1)
Da cui ricaviamo (attenzione ai segni!):
(x – 2)/(3 – 2) = (y – (-3))/(-1 – (-3)) → x – 2 = (y + 3)/(2)
Da qui possiamo ricavare la forma esplicita della retta con semplici passaggi algebrici:
y = 2x – 7
Fonte: YouMath
Dimostrazione della formula per la retta passante per due punti
La formula per la retta passante per due punti non è stata trovata casualmente, ma ha una dimostrazione logica che è importante conoscere. Consideriamo due punti di coordinate P1 = (x1,y1) e P2 = (x2,y2) e imponiamo la condizione di passaggio nell’equazione di una retta espressa in forma esplicita:
y = mx + q → y1 = mx1 + q ; y2 = mx2 + q
Ci troviamo di fronte ad un sistema lineare di due equazioni in due incognite. Applichiamo il metodo del confronto:
q = y1 – mx1 ; q = y2 – mx2
E effettuiamo il confronto sulla seconda equazione:
q = y1 – mx1 ; y1 – mx1 = y2 – mx2
Risolviamo la seconda equazione in favore di m:
q = y1 – mx1 ; m = (y1 – y2)/(x1 – x2)
E sostituiamo tale espressione nella prima equazione, ottenendo:
q = y1 – (y1 – y2)/(x1 – x2)x1 ; m = (y1 – y2)/(x1 – x2)
Se sostituiamo le espressioni dell’ordinata all’origine q e del coefficiente angolare m nell’equazione della retta in forma esplicita y = mx + q, otteniamo:
y = (y1 – y2)/(x1 – x2)x + y1 – (y1 – y2)/(x1 – x2)x1
Portando a sinistra l’addendo y1 ed effettuando un raccoglimento totale a destra, passiamo a:
y – y1 = (y1 – y2
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