EQUAZIONI ESPONENZIALI

Le equazioni esponenziali, appartenenti alla famiglia delle equazioni trascendenti, includono funzioni esponenziali e presentano l’incognita come esponente. Esistono diversi metodi per risolverle, a seconda della forma normale in cui sono presentate. Pertanto, è possibile risolvere le equazioni esponenziali mediante tecniche come il cambio di base logaritmica, la sostituzione di variabili o l’uso di proprietà delle esponenziali.

Metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali

In matematica, per risolvere le equazioni esponenziali è necessario conoscere bene il concetto di elevamento a potenza di un numero e le proprietà dei logaritmi. Il logaritmo è l’operatore inverso dell’esponenziale, sotto opportune ipotesi:

Definizione

Per ogni $a > 0$, $a\neq1$ e $c > 0$, esiste un unico numero $b$ tale che $a^b = c$. Tale numero è detto logaritmo in base $a$ di $c$ e si indica con $b = \log_a c$.

Dopo aver stabilito i prerequisiti necessari, si può procedere a studiare i metodi risolutivi per diverse forme normali delle equazioni esponenziali. Di seguito sono elencati alcuni metodi risolutivi:

Equazioni esponenziali elementari

Le equazioni esponenziali elementari hanno la forma $a^{f(x)} = b$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali positivi e $f(x)$ è una funzione di $x$. Si risolvono applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri dell’equazione.

Equazioni esponenziali con termine noto esponenziale e con incognita

Le equazioni esponenziali con termine noto esponenziale e con incognita hanno la forma $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, dove $a$, $b$ sono numeri reali positivi e $f(x)$, $g(x)$ sono funzioni di $x$. Si risolvono applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri dell’equazione e usando le proprietà dei logaritmi.

Equazioni Esponenziali – le 3 casistiche più frequenti – YouTube

Equazioni esponenziali per sostituzione

Le equazioni esponenziali per sostituzione hanno la forma $a^x = b$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali positivi. Si risolvono sostituendo $a^x$ con una variabile $t$ e risolvendo l’equazione risultante.

Equazioni esponenziali con il metodo grafico

Le equazioni esponenziali con il metodo grafico si risolvono graficando le funzioni esponenziali e trovando l’intersezione tra le curve corrispondenti ai membri dell’equazione.

Approfondimento: equazioni esponenziali con base variabile

Le equazioni esponenziali con base variabile hanno la forma $f(x)^{g(x)}=h(x)$, dove $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ sono funzioni di $x$. Si risolvono applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri dell’equazione e usando le proprietà dei logaritmi.

È importante tenere presente che le equazioni esponenziali potrebbero presentarsi inizialmente in una forma diversa rispetto a quella normale. Sar

Equazioni esponenziali elementari

Le equazioni esponenziali elementari sono della forma $a^{f(x)} = b$ con $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$, dove $a$ è un numero reale positivo e diverso da 1 e $f(x)$ è una qualsiasi espressione matematica contenente l’incognita $x$, ad esempio un polinomio.

Risoluzione

Indipendentemente dal fatto che la base $a$ sia compresa tra 0 e 1 o maggiore di 1, il termine esponenziale $a^{f(x)}$ è sempre positivo per definizione. Quindi, una semplice analisi preliminare ci assicura che l’equazione esponenziale sarà:

• impossibile se $b \leq 0$
• determinata se $b > 0$

Si noti in particolare che le equazioni esponenziali della precedente forma non possono essere indeterminate.

Nell’ipotesi $b > 0$ ci sono essenzialmente due metodi per risolvere le equazioni esponenziali elementari. La scelta dipenderà dalla relazione tra i numeri $a$, $b$, e a tal proposito abbiamo due possibilità:

I) Metodo della potenza

Se $b$ può essere espresso come potenza in base $a$, ossia esiste un numero razionale $k$ tale per cui $b = a^k$, allora possiamo scrivere:

$$ a^{f(x)} = a^{k} $$

Da cui:

$$ f(x) = k $$

Quindi, l’equazione esponenziale si riduce ad una semplice equazione algebrica di primo grado che si risolve facilmente.

II) Metodo del logaritmo

Se $b$ non può essere espresso nella forma $b = a^k$ per un certo $k$ razionale, allora possiamo applicare il logaritmo naturale ad entrambi i membri dell’equazione:

$$ \ln(a^{f(x)}) = \ln(b) $$

Applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene:

$$ f(x) \ln(a) = \ln(b) $$

Da cui:

$$ f(x) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} $$

Quindi, anche in questo caso, l’equazione esponenziale si riduce ad una semplice equazione algebrica di primo grado che si risolve facilmente.

Equazioni esponenziali elementari risolvibili con le potenze

Consideriamo il caso I) delle equazioni esponenziali elementari, ossia:

$$ a^{f(x)} = b; \quad a > 0, a \neq 1; \quad b > 0; \quad \exists k \in \mathbb{Q} \text{ t.c. } b = a^k $$

In questo caso, sarà possibile trovare le soluzioni semplicemente scrivendo $b$ come potenza di $a$, ossia riconducendoci alla forma $a^{f(x)} = a^k$ e, successivamente, uguagliando gli esponenti:

$$ f(x) = k $$

Esempi

1) $3^x = 81$

Siamo di fronte ad un’equazione esponenziale della forma $a^{f(x)} = b$ con $a = 3$, $f(x) = x$, $b = 81$. In particolare non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza perché l’esponente è un puro e semplice monomio.

Poiché $81 = 3^4$, avremo:

$$ 3^x = 3^4 $$

Da cui:

$$ x = 4 $$

2) $2^{x^2-5x}-64 = 0$

Nessuna condizione di esistenza, poiché l’esponente è un polinomio. Dopo aver scritto l’equazione esponenziale nella forma normale:

$$ 2^{x^2-5x} = 64 $$

Vediamo che essa rientra nel caso considerato, infatti $64 = 2^6$ (cara vecchia scomposizione in fattori primi!).

Quindi:

$$ 2^{x^2-5x} = 2^6 $$

Ci siamo ricondotti ad un’equazione di secondo grado:

$$ x^2-5x = 6 \implies x^2-5x-6 = 0 $$

Soddisfatta per $x_1 = -1$, $x_2 = 6$, che saranno le soluzioni dell’equazione esponenziale di partenza.

3) $10^{x^3+3x}+100 = 0$

Riscriviamo l’equazione nella forma:

$$ 10^{x^3+3x} = -100 $$

Senza fare alcun calcolo, semplicemente guardandola, possiamo concludere che essa non ammette alcuna soluzione: equazione impossibile perché $b < 0$.

Fonte: youmath.it

Equazioni esponenziali elementari risolvibili con i logaritmi

Passiamo ad analizzare il caso II) delle equazioni esponenziali elementari:

$$ a^{f(x)} = b; \quad a > 0, a \neq 1; \quad b > 0; \quad \not \exists k \in \mathbb{Q} \text{ t.c. } b = a^k $$

Dopo averla portata alla forma canonica, se non riusciamo a trovare un esponente razionale $k$ per cui $b = a^k$, ossia in soldoni se non riusciamo facilmente a esprimere $b$ come potenza di $a$, il metodo risolutivo prevede di ricorrere ai logaritmi.

Ricordando che:

$$ a^{c} = b \implies c = \log_a(b) \quad (a > 0, a \neq 1, b > 0) $$

Applichiamo il logaritmo in base $a$ a entrambi i membri dell’equazione, il che è lecito nelle ipotesi considerate:

$$ \log_a(a^{f(x)}) = \log_a(b) $$

E, grazie alla definizione di logaritmo, ricaviamo:

$$ f(x) = \log_a(b) $$

Dove $\log_a(b)$ è semplicemente un numero, infatti non dipende dall’incognita. Così facendo abbiamo eliminato la componente esponenziale dell’equazione e ci siamo ricondotti a un altro tipo di equazione, che dipenderà dal caso specifico e che risolveremo con i metodi a noi noti.

Esempi

4) $7^x = 2$

Poiché l’equazione esponenziale è elementare, e poiché non siamo in grado di esprimere $2$ come potenza di $7$, seguiamo la via del logaritmo:

$$ \log_7(7^x) = \log_7(2) $$

Il primo membro si semplifica grazie alla definizione di logaritmo o, il che è equivalente, con una nota proprietà dei logaritmi (logaritmo di una potenza):

$$ x\log_7(7) = \log_7(2) \implies x = \log_7(2) $$

E abbiamo individuato l’unica soluzione dell’equazione.

5) $5^{2x^2} = 3$

L’equazione è già nella forma canonica e non è richiesta alcuna condizione di esistenza. Non sappiamo scrivere $3$ come potenza di $5$, ma possiamo applicare il metodo dei logaritmi:

$$ 2x^2 = \log_{5}(3) $$

Ottenendo un’equazione di secondo grado, nella fattispecie un’equazione pura. Da qui ricaviamo:

$$ x^2 = \frac{\log_{5}(3)}{2} $$

Metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali

Per risolvere le equazioni esponenziali bisogna sapere perfettamente cosa significa elevare a potenza un numero e conoscere vita, morte e miracoli dei logaritmi, essendo il logaritmo l’operatore inverso dell’esponenziale (sotto opportune ipotesi):

a^b = c ⇔ b = log_a(c) se a > 0, a ≠ 1, c > 0

Dati per buoni i prerequisiti necessari, abbiamo tutto quello che ci serve per procedere. Per studiare i metodi risolutivi considereremo diverse forme normali delle equazioni esponenziali e vedremo come sfruttarle per determinare le eventuali soluzioni, con l’ausilio di alcuni esempi svolti:

Equazioni esponenziali elementari

Le equazioni esponenziali elementari sono della forma

a^f(x) = b con a > 0, a ≠ 1

dove a è un numero reale positivo e diverso da 1 e f(x) una qualsiasi espressione matematica contenente l’incognita x, ad esempio polinomio (ma non solo).

A prescindere che la base a sia compresa tra 0 e 1 o maggiore di 1, sappiamo che il termine esponenziale a^f(x) è positivo per definizione, dunque una semplice analisi preliminare ci assicura che l’equazione esponenziale sarà:

• impossibile se b ≤ 0
• determinata se b > 0

Si noti in particolare che le equazioni esponenziali della precedente forma non possono essere indeterminate.

Nell’ipotesi b > 0 ci sono essenzialmente due metodi per risolvere le equazioni esponenziali elementari. La scelta dipenderà dalla relazione tra i numeri a,b, e a tal proposito abbiamo due possibilità:

1. b può essere espresso come potenza in base a, ossia esiste un numero razionale k tale per cui b = a^k
2. b non può essere espresso nella forma b = a^k per un certo k razionale.

Equazioni esponenziali elementari risolvibili con le potenze

Se consideriamo il caso I), tenendo presente quali sono le ipotesi

a^f(x) = b ; con a > 0, a ≠ 1 ; b > 0 ; ∃ k∈Q t.c. b = a^k

sarà possibile trovare le soluzioni semplicemente scrivendo b come potenza di a, ossia riconducendoci alla forma

a^f(x) = a^k

e, successivamente, uguagliando gli esponenti

f(x) = k</

Equazioni esponenziali elementari risolvibili con le potenze

Le equazioni esponenziali elementari sono della forma:

a^f(x) = b con a > 0, a ≠ 1 dove a è un numero reale positivo e diverso da 1 e f(x) una qualsiasi espressione matematica contenente l’incognita x, ad esempio polinomio (ma non solo).

A prescindere che la base a sia compresa tra 0 e 1 o maggiore di 1, l’equazione esponenziale sarà:

• impossibile se b ≤ 0
• determinata se b > 0

In particolare, le equazioni esponenziali della precedente forma non possono essere indeterminate.

Nell’ipotesi b > 0 ci sono essenzialmente due metodi per risolvere le equazioni esponenziali elementari, che dipenderanno dalla relazione tra i numeri a,b:

I) b può essere espresso come potenza in base a

Se b può essere espresso come potenza in base a con esponente k, ossia esiste un numero razionale k tale per cui b = a^k, allora sarà possibile trovare le soluzioni semplicemente scrivendo b come potenza di a, ossia riconducendoci alla forma a^f(x) = a^k e, successivamente, uguagliando gli esponenti:

f(x) = k

Esempi

1. 3^x = 81
   Poiché 81 = 3⁴, l’equazione diventa 3^x = 3⁴ da cui x = 4.
2. 2^x2-5x-64 = 0
   Dopo aver scritto l’equazione esponenziale nella forma normale 2^x2-5x = 64, essa rientra nel caso considerato, infatti 64 = 2⁶. Risolvendo l’equazione di secondo grado otteniamo x = -1, x = 6.
3. 10^x3+3x+100 = 0
   Riscriviamo l’equazione nella forma 10^x3+3x = -100. Poiché l’esponente è sempre maggiore o uguale a 0, l’equazione è impossibile perché b < 0.

Equazioni esponenziali elementari risolvibili con i logaritmi

Nel caso in cui non si riesca a scrivere b come potenza di a, il metodo risolutivo prevede di ricorrere ai logaritmi.

Infatti, applicando il logaritmo in base a ad entrambi i membri dell

Equazioni esponenziali per sostituzione

Il metodo di sostituzione è utile per risolvere equazioni esponenziali complicate che presentano somme e differenze tra più esponenziali e una ripetizione di un termine esponenziale, eventualmente dopo aver ricondotto i termini esponenziali alla stessa base.

Per applicare il metodo, si sostituisce il termine esponenziale ripetuto con una nuova incognita.

Esempio

Risolviamo l’equazione esponenziale: -2^(x-1)+4^(x-(1)/(2))-6 = 0

Non sono richieste condizioni di esistenza.

Proviamo a ricondurre i due termini esponenziali alla stessa base, applicando le proprietà delle potenze:

-2^(x-1) = -(2^x)/(2)

4^(x-(1)/(2)) = (2^(2x))/(2)

L’equazione diventa: -(2^x)/(2)+(2^(2x))/(2)-6 = 0.

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2: -2^x+2^(2x)-12 = 0.

Notiamo che possiamo intendere 2^(2x) = (2^x)^2. Effettuiamo la sostituzione y = 2^x.

Ora possiamo riscrivere l’equazione come un’equazione di secondo grado: y^2-y-12 = 0.

Troviamo le soluzioni: y1 = -3, y2 = 4.

Torniamo all’incognita x ricordandoci della sostituzione effettuata, y = 2^x, e risolviamo le equazioni corrispondenti: 2^x = -3, che è un’equazione impossibile, e 2^x = 4, che ci porta alla soluzione x = 2.

Equazioni esponenziali con il metodo grafico

Il metodo grafico può essere utilizzato per risolvere equazioni esponenziali complesse che non ammettono una soluzione algebrica. Consideriamo un’equazione esponenziale generale:

a^(f(x)) = g(x)

dove l’incognita non compare solo all’esponente. In questo caso, l’unica opzione per approssimare le soluzioni dell’equazione è il metodo grafico. Scriviamo l’equazione come un sistema:

y = a^(f(x))

y = g(x)

e tracciamo i grafici delle due curve nel piano cartesiano. Le soluzioni dell’equazione sono le ascisse degli eventuali punti di intersezione dei due grafici. Se i grafici non si intersecano, l’equazione è impossibile.

Esempio

Risolviamo l’equazione:

-x^2+2-((1)/(2))^x = 0

Riscriviamola come:

((1)/(2))^x = -x^2+2

Questo ci porta al caso generale dell’equazione esponenziale con:

a^(f(x)) = ((1)/(2))^x

g(x) = -x^2+2

Tracciamo i grafici:

y = ((1)/(2))^x

y = -x^2+2

Dal grafico vediamo che ci sono due punti di intersezione A e B. Quindi, l’equazione ha due soluzioni date dalle ascisse dei due punti di intersezione:

• La prima soluzione α = x_A è compresa tra -1 e 0.
• La seconda soluzione β = x_B è nell’intervallo (1,2).

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