Il metodo di risoluzione delle equazioni di primo grado consiste nell’applicare i principi di equivalenza delle equazioni per isolare l’incognita x a sinistra dell’uguale e un termine numerico a destra, che costituirà l’unica soluzione. Nel caso in cui non sia possibile ottenere questo risultato, l’equazione di primo grado si ridurrà a un’equazione senza incognite, che può essere indeterminata o impossibile.
Per riconoscere le equazioni di primo grado, abbiamo visto in una lezione precedente che si tratta di equazioni in cui l’incognita x compare solo alla prima potenza e il grado complessivo dell’equazione è uno. Durante la stessa lezione, abbiamo mostrato come applicare il metodo risolutivo ad un semplice esempio.
Ora, per entrare nel dettaglio del metodo risolutivo, è necessario stabilire quante soluzioni può avere un’equazione di primo grado, definirne la forma normale e mostrare come applicare i principi di equivalenza per ridurre le equazioni di primo grado alla forma normale o a un’equazione senza incognite. Infine, proporremo alcuni esercizi svolti.
Metodo per la verifica delle soluzioni di un’equazione di primo grado
Numero di soluzioni di un’equazione di primo grado
Per risolvere un’equazione di primo grado, è importante sapere quante soluzioni può avere. L’insieme di esistenza delle soluzioni è l’insieme numerico di tutti i possibili valori che può assumere l’incognita x, all’interno del quale dobbiamo cercare le eventuali soluzioni. Se non diversamente indicato, l’insieme di esistenza delle soluzioni è R, ovvero l’insieme dei numeri reali.
Possibilità
Ci sono tre possibilità:
- Una e una sola soluzione: esiste un solo numero che, sostituito al posto dell’incognita x, rende vera l’uguaglianza. In questo caso, l’equazione di primo grado è determinata e la soluzione viene indicata esplicitamente o elencata come insieme soluzione: x = valore oppure S = {valore}.
- Infinite soluzioni: l’equazione è verificata per qualsiasi valore dell’incognita x. In tal caso, si dice che l’equazione di primo grado è indeterminata e la soluzione viene indicata come: ∀ x∈R oppure S = R, dove i simboli matematici ∀, ∈ significano rispettivamente per ogni e appartenente.
- Nessuna soluzione: non esiste alcun valore che, sostituito al posto dell’incognita x, rende vera l’uguaglianza. In questo caso, l’equazione di primo grado è impossibile e la soluzione viene indicata come: not ∃ x∈R oppure S = Ø, dove i simboli not ∃, Ø significano rispettivamente non esiste e insieme vuoto.
Fonte: Didael.it
Risolvere un’equazione di primo grado – YouTube
Come risolvere le equazioni di primo grado
Per risolvere le equazioni di primo grado, è necessario conoscere i principi di equivalenza delle equazioni. Questi principi possono essere riassunti in due semplici regole:
Principi di equivalenza delle equazioni di primo grado
- Si può sommare o sottrarre una stessa quantità numerica o letterale contenente x sia a sinistra che a destra dell’uguale per ottenere un’equazione equivalente.
- Si può moltiplicare o dividere per una stessa quantità numerica sia a sinistra che a destra dell’uguale per ottenere un’equazione equivalente.
Utilizzando questi principi di equivalenza, si possono semplificare le espressioni algebriche nell’equazione di primo grado fino ad isolare la x a sinistra dell’uguale e la soluzione numerica a destra.
Esempio di risoluzione di un’equazione di primo grado
Ad esempio, consideriamo l’equazione:
x + 5 = 7 – x
Per risolverla, dobbiamo manipolare l’equazione in modo da avere solo la x a sinistra e un valore numerico a destra. Utilizziamo il primo principio di equivalenza per eliminare il termine +5 a sinistra sottraendo 5 da entrambi i membri dell’equazione:
x + 5 – 5 = 7 – x – 5
Ora, abbiamo
x = 2 – x
Usiamo ancora una volta il primo principio di equivalenza per eliminare il termine -x a destra dell’uguale, sommando x ad entrambi i membri dell’equazione:
x + x = 2 – x + x
Ora abbiamo
2x = 2
Infine, utilizziamo il secondo principio di equivalenza per eliminare il coefficiente 2 a sinistra dell’uguale, dividendo entrambi i membri per 2:
2x/2 = 2/2
Quindi, la soluzione dell’equazione è
x = 1
Possiamo confermare il risultato sostituendo il valore trovato al posto dell’incognita x nella forma iniziale dell’equazione e verificando che l’uguaglianza risulti vera.
Fonte: Didael.it
Forma normale delle equazioni di primo grado e possibili riduzioni
I due principi di equivalenza delle equazioni di primo grado permettono di effettuare cancellazioni per risolverle. È importante sapere che le equazioni di primo grado possono ammettere solo tre possibili soluzioni: una e una sola soluzione (equazione determinata), infinite soluzioni (equazione indeterminata), o nessuna soluzione (equazione impossibile).
Forma normale delle equazioni di primo grado
Esiste uno schema pratico che ci permette di trarre le giuste conclusioni quando risolviamo un’equazione di primo grado. Dopo aver fatto i calcoli alla ricerca della soluzione, possiamo trovarci di fronte a tre casi.
- Otteniamo la cosiddetta forma normale delle equazioni di primo grado. Indicando con a e b due numeri, la forma normale è data da:
ax = b con a ≠ 0
dove il coefficiente a è diverso da zero ed è il coefficiente del termine di primo grado, mentre il termine b è il termine noto. In questo caso, l’equazione è determinata e ammette come unica soluzione:
x = (b)/(a)
Possibili riduzioni dell’equazione di primo grado
- Facendo i calcoli nel tentativo di isolare la x a sinistra dell’uguale, ci ritroviamo in una situazione strana: l’incognita scompare! Ricadiamo cioè in un’equazione senza incognita, in cui abbiamo un numero a sinistra e un numero a destra.
2.A. Se l’equazione senza incognita è della forma:
numero = stesso numero
allora l’equazione di primo grado si riduce a un’identità, il che significa che è verificata per qualsiasi valore dell’incognita x. In tal caso, l’equazione è indeterminata e la soluzione viene indicata come: ∀ x ∈R.
2.B. Se l’equazione senza incognita è del tipo:
numero = numero diverso
allora l’equazione di primo grado è impossibile, perché a prescindere dai valori che può assumere l’incognita x si traduce sempre in un’uguaglianza falsa. In questo caso, l’equazione di primo grado è impossibile e la soluzione viene indicata come: not ∃ x∈R oppure S = Ø, dove i simboli not ∃, Ø significano rispettivamente non esiste e insieme vuoto.
È importante ricordare che, quando si applicano i due principi di equivalenza delle equazioni di primo grado, ad ogni passaggio si ottiene un’equazione equivalente alla precedente, ossia un’equazione che presenta le medesime soluzioni.
Fonte: Didael.it
Esempi sulle equazioni di primo grado
Vediamo un esempio per ciascuno dei tre possibili casi delle equazioni di primo grado, in cui applichiamo i principi di equivalenza alla ricerca dell’insieme soluzione.
Esempio 1: Equazione determinata
(x)/(2)+(2)/(3) = x-1
(x)/(2)+(2)/(3)-(2)/(3) = x-1-(2)/(3) ; (x)/(2) = x-1-(2)/(3) ; (x)/(2) = x+(-3-2)/(3) ; (x)/(2) = x-(5)/(3) ; (1)/(2)x-x = x-(5)/(3)-x ; (1-2)/(2)x = -(5)/(3) ;-(1)/(2)x = -(5)/(3) ; (-2)·(-(1)/(2)x) = (-2)·(-(5)/(3)) ; x = (10)/(3)
L’equazione è determinata e ha unica soluzione:
x = (10)/(3)
Esempio 2: Equazione indeterminata
4-5x = -5x+4
4-5x-4 = -5x+4-4 ;-5x = -5x ;-5x+5x = -5x+5x ; 0 = 0
L’equazione è indeterminata e ammette infinite soluzioni:
∀ x ∈R
Esempio 3: Equazione impossibile
(x+5)/(4) = (x)/(4)
(x+5)/(4)·4 = (x)/(4)·4 ; x+5 = x ; x+5-5 = x-5 ; x = x-5 ; x-x = x-5-x ; 0 = -5
L’equazione è impossibile e non ha soluzioni:
not ∃ x∈R oppure S = Ø
È importante seguire i principi di equivalenza e ricordarsi che, ad ogni passaggio, si ottiene un’equazione equivalente alla precedente, ossia un’equazione che presenta le medesime soluzioni.
Fonte: Didael.it
Verifica della soluzione di un’equazione di primo grado
Dopo aver risolto un esercizio e aver concluso che l’equazione proposta è determinata, e che dunque ammette una e una sola soluzione, possiamo fare una semplice verifica del risultato e sostituire il valore ottenuto al posto dell’incognita, nella forma iniziale dell’equazione di primo grado.
Riprendiamo l’esempio 1) e verifichiamone il risultato:
(x ((10)/(3)))/(2)+(2)/(3) = x ((10)/(3))-1
Ossia:
((10)/(3))/(2)+(2)/(3) = (10)/(3)-1
Al primo membro applichiamo la regola per le frazioni di frazioni e facciamo i calcoli:
(10)/(3·2)+(2)/(3) = (10)/(3)-1 ; (10)/(6)+(2)/(3) = (10)/(3)-1
Via con i minimi comuni denominatori:
(10+2·2)/(6) = (10-3)/(3) ; (14)/(6) = (7)/(3)
Se semplifichiamo la frazione a sinistra, ricaviamo:
(7)/(3) = (7)/(3)
Ossia un’uguaglianza vera. x = (10)/(3) è effettivamente soluzione per l’equazione.
Attenzione: questo metodo di verifica ci dice con certezza se la soluzione individuata è corretta oppure no, ma non esclude in generale che esistano altre soluzioni. Potremmo infatti aver concluso erroneamente che l’equazione ammette una sola soluzione, mentre in realtà l’equazione potrebbe essere indeterminata.
Portare a sinistra o a destra nelle equazioni di primo grado
Esiste un altro metodo per applicare i principi di equivalenza, del tutto analogo a quello che già conosciamo, ma ben più immediato. Supponiamo di dover risolvere l’equazione:
x+2 = 3x+4
Applichiamo il principio di portare i termini dall’altra parte cambiandoli di segno per isolare la x a sinistra dell’uguale:
x – 3x = 4 – 2
Esemplifichiamo:
-2x = 2
Infine, portiamo il coefficiente della x dalla sinistra sotto, a destra (al denominatore), portando a termine la risoluzione dell’equazione:
x = (2)/(-2) → x = -1
Dopo aver svolto numerosi esercizi, ci accorgiamo che il principio di cancellazione per somma o sottrazione e il principio di cancellazione per moltiplicazione o divisione possono essere ridotti ad un unico passaggio. La cancellazione per somma o sottrazione corrisponde a portare dall’altra parte cambiando di segno, mentre la cancellazione per moltiplicazione o divisione corrisponde a portare dall’altra parte reciprocamente (ovvero, ciò che era a denominatore andrà a numeratore e viceversa).
Stai guardando: COME RISOLVERE LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
