Una retta è un ente geometrico fondamentale costituito da un insieme infinito di punti allineati nel piano o nello spazio. Per individuare una retta nel piano cartesiano, è necessaria un’equazione che la caratterizzi e che tenga conto del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine.
Nel campo della Geometria Analitica, è importante conoscere tutte le formule della retta utili per la risoluzione degli esercizi, partendo dalla sua definizione e passando in rassegna le sue caratteristiche. In questo formulario, quindi, forniremo una panoramica completa di tutto ciò che riguarda la retta nel piano cartesiano.
La Definizione di Retta
Definizione Generale
In geometria, una retta è una linea infinita e retta che può essere individuata come un insieme di infiniti punti allineati lungo una specifica direzione. Una retta non ha né larghezza né spessore e viene rappresentata graficamente come una linea senza fine.
La Retta nel Piano Cartesiano
Nel caso di una retta nel piano cartesiano, ovvero un piano definito da un sistema di coordinate cartesiane, la retta può essere rappresentata mediante un’equazione nelle incognite (x,y). Questa equazione ci permette di individuare tutti i punti della retta nel piano cartesiano.
Ad esempio, l’equazione y = mx + q rappresenta una retta nel piano cartesiano, dove m è il coefficiente angolare della retta e q è l’intercetta con l’asse y. La conoscenza di questi due parametri ci permette di tracciare la retta sul piano cartesiano.
La Retta nello Spazio Tridimensionale
Nel caso di una retta nello spazio tridimensionale, essa può essere individuata da due equazioni che coinvolgono le tre coordinate cartesiane (x,y,z). Queste equazioni ci permettono di trovare tutti i punti che appartengono alla retta nello spazio tridimensionale.
Per maggiori informazioni sulle equazioni cartesiane della retta nello spazio, si consiglia di leggere le lezioni di Algebra Lineare rivolte agli studenti universitari, disponibili al seguente
Retta in Geometria Analitica : Equazione e Rappresentazione – YouTube
Formule della Retta nel Piano Cartesiano
Equazioni della Retta
In geometria, una retta nel piano cartesiano può essere descritta mediante un’apposita equazione nelle incognite (x,y). Tale equazione descrive il luogo geometrico dei punti che appartengono alla retta e ci permette di individuare e tracciare la retta sul piano cartesiano.
Esistono due forme di equazione della retta: esplicita e implicita. Entrambe le forme sono equivalenti e possono essere facilmente convertite l’una nell’altra mediante semplici passaggi algebrici.
Equazione della Retta in Forma Esplicita
L’equazione della retta in forma esplicita è espressa in favore della variabile y ed è della forma:
y = mx + q
dove m è il coefficiente angolare della retta, che esprime la pendenza della retta rispetto all’asse x, e q è l’ordinata all’origine, che corrisponde all’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.
Equazione della Retta in Forma Implicita
L’equazione della retta in forma implicita è espressa come un polinomio di primo grado nelle indeterminate x e y, della forma:
ax + by + c = 0
dove a, b e c sono costanti che dipendono dalla retta in questione.
Utilizzo delle Equazioni della Retta
Le equazioni della retta ci forniscono molte informazioni utili per lo studio della retta stessa. Ad esempio, conoscendo il coefficiente angolare m, possiamo determinare la pendenza della retta e quindi stabilire se essa è crescente, decrescente o orizzontale. Inoltre, conoscendo l’ordinata all’origine q, possiamo individuare il punto in cui la retta interseca l’asse y.
Per maggiori informazioni sull’utilizzo delle equazioni della retta nel piano cartesiano, si consiglia di consultare appositi formulari e approfondimenti. Una fonte utile può essere trovata al seguente
Relazione tra Retta in Forma Esplicita ed Implicita
Equazioni Equivalenti
Le due rappresentazioni della retta in forma esplicita e implicita sono del tutto equivalenti, escludendo le rette di equazione x = k, con k∈R. In altre parole, possiamo passare agevolmente dall’una all’altra forma mediante semplici passaggi algebrici.
Ricavare la Forma Esplicita dalla Forma Implicita
Supponiamo che b ≠ 0. In tal caso, possiamo ricavare la forma esplicita della retta a partire dalla forma implicita mediante la seguente relazione:
ax + by + c = 0 → y = -(a)/(b)x – (c)/(b)
In questa forma esplicita, il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q sono dati da:
m = -(a)/(b); q = -(c)/(b)
Si noti che il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine sono definiti solo se b ≠ 0.
Rette Orizzontali e Verticali
Nel caso in cui b = 0, l’equazione implicita della retta assume la forma:
ax + c = 0 → x = -(c)/(a)
Questa equazione individua una retta verticale, ovvero parallela all’asse delle y. Invece, se a = 0, l’equazione implicita assume la forma:
by + c = 0 → y = -(c)/(b)
Questa equazione individua una retta orizzontale, ovvero parallela all’asse delle x.
Un piccolo trucco per non fare confusione è quello di notare che se l’equazione di una retta non contiene una delle due variabili x o y, allora la retta corrispondente è parallela all’asse omonimo alla variabile che non compare.
Per maggiori informazioni sulla relazione tra retta in forma esplicita ed implicita, si consiglia di consultare appositi formulari e approfondimenti. Una fonte utile può essere trovata al seguente
Retta Passante per l’Origine
Una retta passante per l’origine degli assi O = (0,0) è caratterizzata da un’equazione in cui non compare il termine di grado zero. Esplicitamente, una retta per l’origine avrà un’equazione del tipo:
- y = mx
- ax + by = 0
In entrambi i casi, è facile verificare che l’origine degli assi soddisfa le equazioni. Quindi, l’origine appartiene a qualsiasi retta di questo genere.
Rette Notevoli
Tra le rette nel piano cartesiano che non richiedono particolari presentazioni, annoveriamo:
L’asse delle ascisse
y = 0
L’asse delle ordinate
x = 0
La bisettrice del primo-terzo quadrante
y = x
La bisettrice del secondo-quarto quadrante
y = -x
Come Disegnare una Retta
Il metodo pratico per disegnare una retta si basa sul seguente teorema della Geometria Euclidea: per due punti distinti passa una ed una sola retta. In termini pratici, il metodo da adottare nella risoluzione degli esercizi è il seguente:
- Per una retta orizzontale y = k o una retta verticale x = k, la rappresentazione è immediata.
- In alternativa, bisogna ricavare la forma esplicita della retta assegnata: y = mx + q.
- Assegnare alla variabile x due valori comodi x1 e x2.
- Calcolare le corrispondenti ordinate y1 e y2:
- y1 = mx1 + q
- y2 = mx2 + q
A questo punto, non resta che segnare i punti (x1,y1) e (x2,y2) sul piano cartesiano e tracciare la retta che li congiunge, prolungandola indefinitamente (non dimenticare i trattini!).
Fonte: https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-analitica/retta-nel-piano-cartesiano.html.
Coefficiente angolare di una retta
Il coefficiente angolare di una retta esprime la pendenza della retta rispetto all’asse x (o ad una qualsiasi orizzontale). Nel caso esplicito è dato dal coefficiente m della variabile x; nel caso implicito se b ≠ 0 si può calcolare mediante la formula
m = -(a)/(b) se b ≠ 0
Nel caso b = 0, ossia di una retta verticale x = k, il coefficiente angolare viene solitamente definito alle scuole superiori come m = ∞ anche se matematicamente sarebbe più opportuno asserire che esso non è definito. Nel particolare caso di una retta orizzontale (y = k → a = 0) invece è facile vedere che il coefficiente angolare della retta è m = 0.
Per definizione il coefficiente angolare di una retta è la costante data dal rapporto tra la differenza di ordinate e la differenza di ascisse di due qualsiasi punti P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) della retta
m = (y2-y1)/(x2-x1) per ogni x1 ≠ x2
Da questa definizione si capisce perché il coefficiente angolare non è definito per le rette verticali (x1 = x2).
Angolo formato da una retta con l’asse x o con una qualsiasi orizzontale
Il coefficiente angolare esprime la pendenza di una retta rispetto all’asse delle ascisse, e può essere riscritto in una forma equivalente, considerando la tangente dell’angolo acuto α formato dalla retta e da una qualsiasi orizzontale
m = tan(α) dove -90° < α < 90°
Se la retta è verticale allora α = 90° ed m non è definito.
È possibile invertire la precedente relazione per calcolare l’angolo acuto formato con una qualsiasi retta orizzontale:
α = arctan(m)
La formula è valida dunque per qualsiasi retta che non sia verticale, eventualità in cui l’angolo formato con l’asse delle ascisse è pari ad un angolo retto.
Coefficiente angolare conoscendo due punti della retta
m = (y2-y1)/(x2-x1) se x1 ≠ x2
Formula valida per qualsiasi retta che non sia verticale, nel qual caso avremmo x1 = x2 e la formula sarebbe inconsistente. Non dimenticate che il coefficiente angolare non è definito nel caso di rette verticali!
Formule della retta nel piano cartesiano
Le formule della retta sono utili per descrivere una retta mediante un’equazione nelle incognite (x,y) all’interno di un sistema di riferimento cartesiano nel piano. L’equazione descrive il luogo geometrico della retta, dove un punto P appartiene alla retta se e solo se le sue coordinate P=(x,y) verificano l’equazione.
L’equazione della retta può essere espressa in forma esplicita o implicita. Nella forma esplicita, l’equazione è espressa in favore della variabile y come y = mx + q, dove m è il coefficiente angolare che esprime la pendenza della retta rispetto all’asse x, e q è l’ordinata all’origine che rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta intercetta l’asse y. Nella forma implicita, l’equazione è espressa come ax+by+c = 0.
Relazione tra retta in forma esplicita ed implicita
Escludendo le rette di equazione x=k, con k∈R, le due rappresentazioni della retta in forma esplicita e implicita sono equivalenti. Per ricavare la forma esplicita da quella implicita, si può scrivere la relazione che lega i coefficienti a, b, c con m e q. Se b≠0, si può calcolare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine mediante le formule m = -(a)/(b) e q = -(c)/(b), rispettivamente.
Nel caso di rette verticali o orizzontali, si ha b=0 o a=0, rispettivamente. In particolare, l’equazione y=k individua una retta orizzontale, mentre l’equazione x=k individua una retta verticale. Se l’equazione di una retta non contiene una delle due variabili x o y, allora la retta è parallela all’asse corrispondente alla variabile mancante.
Retta passante per l’origine e rette notevoli
Una qualsiasi retta passante per l’origine è caratterizzata da un’equazione in cui non compare il termine di grado zero. La retta può essere espressa in forma y=mx o ax+by=0.
Le rette notevoli includono l’asse delle ascisse (y=0), l’asse delle ordinate (x=0), la bisettrice del primo-terzo quadrante (y=x) e la bisettrice del secondo-quarto quadrante (y=-x).
Per disegnare una retta, si può calcolare il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q a partire dall’equazione esplicita. Si possono quindi scegliere due valori di x, calcolare le corrispondenti ordinate y e segnare i punti sul piano cartesiano per disegnare la retta.
Coefficiente angolare di una retta
Il coefficiente angolare di una retta
Equazione della retta passante per due punti
Disponendo delle coordinate di due punti appartenenti ad una retta possiamo servirci di una comoda formula per calcolare l’equazione della retta passante per due punti:
- (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) se x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2
- x = x1 se x1 = x2
- y = y1 se y1 = y2
Equazione della retta passante per un punto (conoscendo il coefficiente angolare)
Se invece disponiamo del coefficiente angolare di una retta e di un punto di passaggio, possiamo usare la formula per la retta passante per un punto:
- y-yP = m(x-xP)
Distanza di un punto da una retta
Per calcolare la distanza di un punto da una retta, possiamo utilizzare due diverse formule a seconda che la retta sia data in forma implicita o esplicita. Chiamiamo P = (xP,yP) le coordinate del punto.
- Nel caso di una retta in forma implicita ax+by+c = 0:
- d(P,r) = (|axP+byP+c|)/(√(a^2+b^2))
- Per una retta in forma esplicita y = mx+q:
- d(P,r) = (|yP-(mxP+q)|)/(√(1+m^2))
Angolo formato da due rette
Per calcolare l’angolo acuto tra due rette bisogna conoscere i loro coefficienti angolari. La formula da utilizzare è:
α = arctan(((m1-m2)/(1+m1m2)))
Nel caso di due rette perpendicolari (m1m2 = -1) l’angolo tra di esse è di 90°.
È importante sottolineare che due rette formano quattro angoli a due a due congruenti (due coppie di angoli opposti al vertice). Pertanto, per calcolare l’angolo complementare all’angolo già calcolato, si può semplicemente calcolare il supplementare dell’angolo conosciuto.
Fascio proprio di rette
Un fascio proprio di rette è costituito da rette che hanno un solo punto in comune. Queste rette possono essere descritte da un’equazione parametrica del tipo:
y-yC = m(k)(x-xC)
o, in modo equivalente:
ax+by+c+k(a’x+b’y+c’) = 0
dove ax+by+c = 0 e a’x+b’y+c’ = 0 sono le rette generatrici del fascio. La scrittura m(k) indica che il coefficiente angolare m dipende dal parametro k.
Fascio improprio di rette
Un fascio improprio di rette, o fascio di rette parallele, è costituito da rette parallele tra loro. Queste rette possono essere descritte da un’equazione parametrica del tipo:
y = mx+q(k)
dove la scrittura q(k) indica che l’ordinata all’origine q dipende dal parametro k. È importante notare che tutte le rette del fascio hanno lo stesso coefficiente angolare.
Equazione parametrica della retta nel piano
Per descrivere una retta nel piano, si può utilizzare un’equazione parametrica del tipo:
x = x0+tv1; y = y0+tv2, t∈ R
dove P(x0,y0) è un punto appartenente alla retta e v = (v1,v2) è un vettore del piano che ne indica la direzione.
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