Una potenza è il prodotto di un numero ripetuto per se stesso molte volte, ed è rappresentata da due numeri noti come base ed esponente. In altre parole, quando si scrive an (dove a è la base e n è l’esponente), si sta moltiplicando la base per se stessa n volte. Questa operazione è nota come elevamento a potenza.
Cos’è un elevamento a potenza?
L’elevamento a potenza è un’operazione matematica che consiste nel moltiplicare un numero per se stesso un certo numero di volte, specificato dall’esponente.
Per esempio, se vogliamo moltiplicare 2 per se stesso 5 volte, scriveremmo normalmente:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Tuttavia, per semplificare la scrittura, si utilizza l’elevamento a potenza. Quindi, la stessa operazione può essere scritta come:
2^5 = 32
Definizione di potenza di un numero
Chiamiamo potenza n-esima di un numero “a” alla moltiplicazione di “a” per se stesso “n” volte. Tale operazione si indica con “a^n”, dove “a” si dice base e “n” si dice esponente.
Ad esempio, 3^4 significa che dobbiamo moltiplicare il numero 3 per se stesso 4 volte: 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
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Tipi di elevamento a potenza
Esistono diversi tipi di elevamento a potenza, a seconda che la base e l’esponente appartengano a determinati insiemi numerici. Qui di seguito sono elencati i possibili casi:
Potenze con esponente naturale
Se l’esponente è un numero naturale, ovvero un numero intero positivo, allora si parla di “potenza con esponente naturale”.
Ad esempio, 2^3 = 2 x 2 x 2 = 8.
Potenze con esponente zero
Quando l’esponente è uguale a zero, il risultato dell’elevamento a potenza è sempre 1. Questo vale per qualsiasi base diversa da zero.
Ad esempio, 5^0 = 1.
Potenze con esponente negativo
Se l’esponente è un numero intero negativo, il risultato dell’elevamento a potenza è uguale al reciproco del risultato dell’elevamento a potenza con esponente positivo, ovvero:
a^-n = 1 / a^n
Ad esempio, 2^-3 = 1 / 2^3 = 1 / 8 = 0.125.
Potenze con base negativa
Quando la base è un numero negativo, l’elevamento a potenza con esponente pari darà sempre un risultato positivo, mentre l’elevamento a potenza con esponente dispari darà sempre un risultato negativo.
Ad esempio, (-2)^4 = 16 e (-2)^3 = -8.
Potenze con base frazionaria
Quando la base è un numero frazionario, l’elevamento a potenza può
Quali sono i possibili valori dell’esponente in una potenza?
Per i numeri naturali, l’esponente rappresenta il numero di volte che la base viene moltiplicata per se stessa. Ad esempio:
- 2^1 = 2
- 2^2 = 2 x 2
- 2^3 = 2 x 2 x 2
- 2^4 = 2 x 2 x 2 x 2
L’esponente viene letto come “due alla prima”, “due alla seconda”, “due alla terza”, “due alla quarta”.
Cosa succede se l’esponente di una potenza è zero?
Se la base “a” è diversa da zero, allora “a^0” è uguale a 1. In altre parole, elevare qualsiasi base diversa da zero alla potenza zero dà come risultato 1.
È importante sottolineare che quando sia la base che l’esponente sono uguali a zero, il risultato dell’elevamento a potenza non è definito.
Cosa succede se la base è negativa e l’esponente è un numero naturale?
Nel caso delle potenze con base negativa, la base viene moltiplicata per se stessa tante volte quante richiesto dall’esponente. Ad esempio:
- (-2)^2 = (-2) x (-2) = +4
- (-2)^3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
- (-2)^4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = +16
È importante notare che il risultato di una potenza con base negativa può essere positivo o negativo, a seconda che l’esponente sia pari o dispari. In particolare:
- se la base è negativa e l’esponente è dispari, allora la potenza avrà segno negativo
- se la base è negativa e l’esponente è pari, allora la potenza avrà segno positivo
Cosa succede se l’esponente di una potenza è negativo?
Potenze con esponente negativo
Nel caso in cui l’esponente di una potenza è un numero intero negativo, la potenza viene calcolata come il reciproco della base elevata all’esponente positivo corrispondente:
a^(-n) = (1) / (a^n)
Ad esempio:
2^(-1) = (1) / (2) = 0.5
2^(-2) = (1) / (2^2) = (1) / (4) = 0.25
2^(-3) = (1) / (2^3) = (1) / (8) = 0.125
2^(-4) = (1) / (2^4) = (1) / (16) = 0.0625
Fonte: Wikipedia
Potenze e radici con esponenti fratti (razionali)
Nel caso in cui l’esponente di una potenza sia una frazione (un numero razionale), è possibile scrivere la potenza come una radice. In particolare:
a^((p) / (q)) = [q]√(a^p)
In altre parole, l’esponente diventa il numeratore dell’espressione sotto la radice, mentre il denominatore indica l’indice della radice.
Ad esempio:
3^((1) / (2)) = √(3)
5^((3) / (2)) = √(5^3)
2^((5) / (7)) = [7]√(2^5)
Fonte: Wikipedia
Cosa sono le potenze con esponente irrazionale?
Le potenze con esponente irrazionale sono tipicamente affrontate durante il triennio delle scuole superiori e sono definite solo per le basi positive a > 0. La definizione è algebricamente complessa e non la tratteremo in questa sede.
Tuttavia, esiste una formula basata sui logaritmi e sulle proprietà dei logaritmi che permette di calcolare le potenze con esponente irrazionale:
a^(displaystyles) = e^(displaystylelog(a^(s))) = e^(displaystyles log(a))
Riassunto dei tipi di potenze
Ecco una tabella di riepilogo sui vari tipi di potenze:
| Potenze | Definizione |
|---|---|
| a^n | a·a·…·a (n volte) ; a^0 = 1 se a ≠ 0 |
| Potenze con base negativa | (-a)^n = a^n se n pari ; (-a)^n = -a^n se n dispari |
| Potenze con esponente negativo | a^(-n) = (1)/(a^n) |
| Potenze con esponente razionale (p, q interi) | a^((p)/(q)) = [q]√(a^p) |
| Potenze con esponente irrazionale (definite solo per a > 0) | a^(displaystyles) = e^(displaystylelog(a^(s))) = e^(displaystyles log(a)) |
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