Matematica

NUMERI IRRAZIONALI

I numeri irrazionali, rappresentati dal simbolo I, comprendono tutti i numeri decimali illimitati non periodici che non possono essere espressi come frazioni. Tra gli esempi più comuni di numeri irrazionali troviamo √2, √3, ∏ e e. È importante notare che questi numeri non seguono alcun schema ripetitivo nella loro rappresentazione decimale e sono quindi considerati irrazionali.

NUMERI IRRAZIONALI
NUMERI IRRAZIONALI

Come nascono i numeri irrazionali

In matematica, i numeri irrazionali sono quei numeri che non possono essere rappresentati come frazioni di numeri interi. Questo tipo di numeri è stato introdotto per la prima volta nel mondo della matematica per risolvere problemi che coinvolgono l’estrazione di radice (non solo quadrata) di un numero che non può essere espresso come frazione.

Insomma, come si passa dai numeri naturali ai numeri irrazionali?

Partiamo dai numeri naturali. Quando si effettuano operazioni tra numeri naturali, non tutte danno come risultato un numero naturale. Ad esempio, il risultato della divisione tra due numeri naturali in cui il dividendo non è un multiplo del divisore non appartiene all’insieme N, così come la sottrazione tra due numeri naturali in cui il minuendo è minore del sottraendo.

Per affrontare queste problematiche, si introduce l’insieme dei numeri interi relativi Z, che include i numeri naturali e i loro opposti. In questo modo, l’operazione di sottrazione tra numeri naturali è sempre possibile.

Tuttavia, per dare senso alla divisione tra una qualsiasi coppia di numeri, si passa all’insieme dei numeri razionali Q, ovvero l’insieme di tutti i numeri che possono essere espressi come frazione, dove il denominatore è diverso da zero. In generale, i numeri razionali includono sia i numeri interi che le frazioni.

Ma cos’è che manca nell’insieme dei numeri razionali?

Anche se l’insieme dei numeri razionali sembra comprendere tutti i numeri che ci servono, manca ancora qualcosa: l’estrazione della radice quadrata di un numero positivo non esatto.

Ma cos'è che manca nell'insieme dei numeri razionali?
Ma cos’è che manca nell’insieme dei numeri razionali?

Infatti, il risultato dell’estrazione di radice quadrata di 2 non può essere espresso come frazione, poiché non esiste alcun paio di numeri interi che possa essere diviso per ottenere 2. Il risultato è un numero che va avanti all’infinito, rappresentato dalla seguente espressione:

√(2) = 1,41421356237309504880168872420969807856967187…

Numeri irrazionali. – YouTube

Da qui nasce l’insieme dei numeri irrazionali

È per risolvere questo tipo di problema che nasce l’insieme dei numeri irrazionali, che comprende tutti i numeri che non possono essere rappresentati come frazioni di numeri interi.

In sintesi, l’insieme dei numeri irrazionali è stato introdotto per ampliare l’insieme dei numeri razionali, includendo tutti i numeri che non possono essere espressi sotto forma di frazione. Ecco perché sono chiamati “numeri irrazionali”.

Definizione di numero irrazionale

In matematica, un numero irrazionale è un numero decimale illimitato e non periodico. Questo tipo di numeri non può essere rappresentato come frazione di numeri interi.

Simbolo dell’insieme dei numeri irrazionali

Alla scuola media, l’insieme dei numeri irrazionali viene generalmente indicato con il simbolo I.

Rappresentazione dei numeri irrazionali

Dato che i numeri irrazionali sono illimitati (composti da un numero infinito di cifre) e non periodici (nessun gruppo di cifre si ripete all’infinito), questi numeri si rappresentano lasciando indicato il segno di radice. Ecco alcuni esempi:

  • √(2)
  • [3]√(5)
  • [5]√((3)/(2))
  • [4]√(62)

Tuttavia, non tutti i numeri definiti mediante una radice quadrata (o cubica, o ennesima) sono numeri irrazionali. Ad esempio, √(144) = 12 e [3]√((8)/(27)) = (2)/(3) non sono numeri irrazionali, perché possono essere espressi come frazioni di numeri interi.

Alcuni esempi di numeri irrazionali famosi

Esistono numerosi numeri irrazionali famosi, tra cui:

  • Pi Greco (π)
  • Il numero di Nepero e

I numeri irrazionali possono essere sia positivi che negativi. Ad esempio, -√(2), -[3]√(5), -[5]√(-(3)/(2)), -[4]√(62), -π, e -e sono tutti numeri irrazionali negativi.

Numeri razionali e numeri irrazionali

In matematica, ogni numero può essere classificato come razionale o irrazionale. Come abbiamo visto in precedenza, i numeri razionali sono quei numeri che possono essere rappresentati come frazione di numeri interi. I numeri irrazionali, invece, sono numeri che non possono essere espressi come frazione di numeri interi.

Insieme dei numeri reali

L’unione tra l’insieme dei numeri razionali e l’insieme dei numeri irrazionali forma l’insieme dei numeri reali, indicato con R.

Quindi, in altre parole, un qualsiasi numero reale può appartenere all’insieme dei numeri razionali (che includono gli insiemi dei numeri interi e relativi) o può essere un numero irrazionale.

Diagramma di Eulero-Venn

Il seguente diagramma di Eulero-Venn rappresenta la relazione tra i vari insiemi numerici:

Numeri irrazionali algebrici e trascendenti

L’insieme dei numeri irrazionali può essere suddiviso in due sottoinsiemi:

  • Numeri irrazionali algebrici: questi sono numeri irrazionali che possono essere ottenuti come soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi. Ad esempio, ±√(2) sono numeri irrazionali algebrici, poiché sono soluzioni dell’equazione di secondo grado x^2-2 = 0. In generale, tutti i numeri irrazionali che possono essere definiti tramite radicali sono numeri irrazionali algebrici.
  • Numeri irrazionali trascendenti: questi sono numeri irrazionali che non sono soluzioni di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi. Ad esempio, Pi Greco (π) e il Numero di Nepero sono numeri irrazionali trascendenti.

Fonte: Wikipedia

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Jesse

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