I prodotti notevoli sono formule di calcolo utili per risolvere rapidamente alcuni tipi di potenze e prodotti tra polinomi, nonché per scomporre particolari tipologie di polinomi. Queste formule sono chiamate prodotti notevoli poiché riguardano prodotti che si presentano spesso nel calcolo polinomiale.
La moltiplicazione tra polinomi può richiedere molto tempo e può essere soggetta ad errori, ma l’uso dei prodotti notevoli può aiutare a evitarli. Inoltre, questi prodotti consentono di scomporre molti tipi di polinomi e sono molto pratici. Durante le lezioni precedenti abbiamo visto come utilizzare i prodotti notevoli per semplificare la risoluzione di problemi polinomiali.
Prodotti notevoli: definizione e esempi
Definizione
I prodotti notevoli sono formule matematiche utili per semplificare l’espressione di polinomi. Essi consentono di passare da una potenza a un polinomio in forma compatta (prodotti notevoli di sviluppo) o da un polinomio a un prodotto di polinomi in forma compatta (prodotti notevoli di scomposizione).
Prodotti notevoli di sviluppo
I prodotti notevoli di sviluppo sono formule che consentono di passare da una potenza a un polinomio in forma compatta. I prodotti notevoli di sviluppo più comuni sono:
Quadrato di un binomio con somma
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
Quadrato di un binomio con differenza
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
Prodotti Notevoli : Quadrato di un Binomio e Somma per Differenza – YouTube
Cubo di un binomio con somma
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Cubo di un binomio con differenza
(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
Quadrato di un trinomio con somma
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Quadrato di un trinomio con differenza
(a-b+c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc
Potenza di un binomio
(a+b)^n = Σ_(k = 0)^(n) binom(n)(k)a^(n-k)b^k
Prodotti notevoli di scomposizione
I prodotti notevoli di scomposizione sono formule che consentono di passare da un polinomio a un prodotto di polinomi in forma compatta. I prodotti notevoli di scomposizione più comuni sono:
Prodotto notevole della differenza di quadrati (somma per differenza)
a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
Prodotto notevole della somma di due cubi
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
Prodotto notevole della differenza di due cubi
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
Osservazioni
- I prodotti notevoli 3), 6) e 7) sono formule per passare da un polinomio in forma compatta a un prodotto, dunque sono prodotti notevoli di scomposizione.
- I prodotti notevoli 1), 2), 4), 5), 8), 9) e 10)
Prodotti notevoli: dimostrazioni delle formule
Introduzione
In Matematica ci sono due modi per imparare: memorizzare o capire. Per capire i prodotti notevoli, bisogna dimostrare che le formule sono valide, cioè che lo sviluppo esplicito dei prodotti tra polinomi conferma l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione.
Sviluppo del quadrato di binomio con somma
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2
Sviluppo del quadrato di binomio con differenza
(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2
Scomposizione della differenza di quadrati
In questo caso, ricaviamo la formula sviluppando il prodotto somma per differenza:
(a-b)(a+b) = a^2+ab-ab-b^2 = a^2-b^2
Cubo di binomio con somma
(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+ab+ab+b^2)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b) = a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Cubo di binomio con differenza
(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b) = (a^2-ab-ab+b^2)(a-b) = (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
Sviluppo della somma di due cubi
Anche in questo caso, conviene dimostrare l’uguaglianza all’inverso:
(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3 = a^3+b^3
Sviluppo della differenza di due cubi
Come nel caso precedente:
(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3 = a^3-b^3
Sviluppo del quadrato di trinomio con somma
(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Sviluppo del quadrato di trinomio con differenza
(a-b+c)^2 = (a-b+c)(a-b+c) = a^2-ab+ac-ab+b^2-bc+ac-bc+c^2
Prodotti notevoli per lo sviluppo dei polinomi
Introduzione
In Matematica, i prodotti notevoli sono utili per semplificare l’espressione di un polinomio. In questa lezione, ci concentreremo sui prodotti notevoli per lo sviluppo dei polinomi.
Esempio pratico
Consideriamo il seguente esercizio: vogliamo ridurre il polinomio seguente alla forma normale.
(x+1)(x-1)+(x+y)^2-(x-y)^2
Per risolvere l’esercizio, possiamo utilizzare i prodotti notevoli. In particolare, usiamo la formula 3) per lo sviluppo del prodotto della differenza di quadrati e le formule 1) e 2) per lo sviluppo del quadrato di un binomio con somma e con differenza, rispettivamente.
Sviluppiamo il primo prodotto utilizzando la formula 3):
(x+1)(x-1) = x^2 – 1
Sviluppiamo il secondo prodotto utilizzando la formula 1):
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Sviluppiamo il terzo prodotto utilizzando la formula 2):
(x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2
Sostituiamo i risultati nello schema originale e semplifichiamo:
x^2-1 (3))+x^2+2xy+y^2 (1))-(x^2-2xy+y^2) (2)) = x^2-1+x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2 = -1+x^2+2xy+2xy = x^2+4xy-1
Il polinomio originale è stato ridotto alla forma normale x^2 + 4xy – 1 utilizzando i prodotti notevoli.
Conclusioni
I prodotti notevoli sono uno strumento utile per semplificare l’espressione di un polinomio. Nelle lezioni successive, vedremo tanti esempi su ciascuno dei prodotti notevoli.
Prodotti notevoli per la scomposizione dei polinomi
I prodotti notevoli possono essere utilizzati anche per la scomposizione dei polinomi, nota anche come fattorizzazione. In questa lezione, ci concentreremo sui prodotti notevoli per la scomposizione dei polinomi.
Utilizzo dei prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono utili per calcolare un prodotto o una potenza di un polinomio in un solo passaggio. Tuttavia, possono essere utilizzati anche al contrario, ovvero per riscrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore. Questa tecnica è utile per la scomposizione dei polinomi.
Esempio pratico
Consideriamo il polinomio seguente:
x^3-8
Notiamo che 8 può essere scritto come 2^3. Quindi, possiamo riscrivere il polinomio come segue:
x^3-2^3
Possiamo utilizzare la formula 7) per scomporre il polinomio:
x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+2^2) = (x-2)(x^2+2x+4)
Il polinomio originale è stato scomposto in fattori (x-2) e (x^2+2x+4) utilizzando i prodotti notevoli.
Conclusioni
I prodotti notevoli possono essere utilizzati anche per la scomposizione dei polinomi. Questa tecnica è utile per riscrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore. Nelle lezioni successive, vedremo tanti esempi su come utilizzare i prodotti notevoli per la scomposizione dei polinomi.
Fonte: youmath.it
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