Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole rappresentato come (A±B)^2=A^2±2AB+B^2. Questa formula è utilizzata frequentemente nello sviluppo e nella scomposizione dei polinomi.
Essa consente di trovare il quadrato di un polinomio con due termini, dove la regola stabilisce che si calcola il quadrato del primo termine, più o meno il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo termine.
La regola del quadrato di binomio permette anche di scomporre un trinomio sviluppandolo come quadrato di un binomio. In sintesi, questa regola è una delle formule fondamentali nella famiglia dei prodotti notevoli.
Come calcolare il quadrato di un binomio con somma
In matematica, il quadrato di un binomio con somma è un prodotto notevole che viene spesso utilizzato negli esercizi e nelle applicazioni di calcolo letterale. Il calcolo del quadrato di un binomio con somma può essere eseguito facilmente grazie alla seguente formula:
Formula
(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2
Dove A e B sono coppie di monomi non simili (ossia con parti letterali diverse) e rappresentano la somma dei due termini del binomio.
Per eseguire il calcolo, è sufficiente moltiplicare il binomio per se stesso e sommare i prodotti di tutti i termini corrispondenti. In altre parole, la formula può essere espressa come:
(A+B)(A+B) = A^2+AB+BA+B^2 = A^2+2AB+B^2
Esempio
Ad esempio, se si vuole calcolare il quadrato del binomio (3x+2y), la formula diventa:
(3x+2y)^2 = (3x)^2+2(3x)(2y)+(2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2
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Conclusioni
Conoscere la formula per il calcolo del quadrato di un binomio con somma è utile per semplificare i calcoli e risolvere rapidamente gli esercizi che coinvolgono questo tipo di prodotto notevole.
Regola del quadrato di binomio
In matematica, la regola del quadrato di un binomio è una formula che consente di calcolare facilmente il quadrato di un binomio.
Sviluppo del quadrato di un binomio
Lo sviluppo del quadrato di un binomio con termini a e b è dato dalla seguente formula:
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
Cioè, il quadrato del binomio è dato dal quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.
Esempi
Ecco alcuni esempi di applicazione della regola del quadrato di binomio:
Quadrato di un binomio con somma
Per calcolare il quadrato del binomio (a+1), la formula diventa:
(a+1)^2 = a^2+2·a·1+1^2 = a^2+2a+1
Quadrato di un binomio con somma e coefficienti fratti
Se il binomio ha coefficienti frazionari, come ad esempio ((1)/(2)ab+(3)/(2)b), è importante calcolare separatamente i vari termini della formula:
Il quadrato del primo termine è: ((1)/(2)a b)^2 = (1)/(4)a^2 b^2
Il doppio prodotto del primo termine per il secondo è: 2·(1)/(2)ab·(3)/(2)b = (3)/(2)a b^2
Il secondo termine al quadrato è: ((3)/(2)b)^2 = (9)/(4)b^2
In definitiva:
((1)/(2)ab+(3)/(2)b)^2 = (1)/(4)a^2 b^2+(3)/(2)a b^2+(9)/(4)b^2
Conclusioni
La regola del quadrato di binomio è una formula utile per semplificare i calcoli e risolvere facilmente gli esercizi che coinvolgono questo tipo di prodotto notevole.
Come calcolare il quadrato di un binomio con differenza
In matematica, il quadrato di un binomio con differenza è un altro prodotto notevole che viene spesso utilizzato negli esercizi e nelle applicazioni di calcolo letterale. La formula per il calcolo del quadrato di un binomio con differenza è:
Formula
(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2
Dove A e B rappresentano due monomi non simili, ovvero con parti letterali diverse, che compongono il binomio.
Tale uguaglianza deriva direttamente dalla formula del quadrato di un binomio con somma, infatti, la differenza tra due monomi può essere espressa come una somma algebrica, dove il secondo monomio viene reso negativo:
(A-B)^2 = (A+(-B))^2
Applicando la regola del quadrato di binomio, si ottiene:
(A+(-B))^2 = A^2+2 A(-B)+(-B)^2 = A^2-2AB+B^2
Dove il doppio prodotto ha un coefficiente con segno meno.
Esempio
Ad esempio, se si vuole calcolare il quadrato del binomio (-a+1), la formula diventa:
(-a+1)^2 = a^2-2a+1
Conclusioni
Conoscere la formula per il calcolo del quadrato di un binomio con differenza è utile per semplificare i calcoli e risolvere rapidamente gli esercizi che coinvolgono questo tipo di prodotto notevole.
Esempio: quadrato di binomio con differenza e coefficiente frazionario
Per calcolare il quadrato del binomio ((1)/(2)x y-2 a), è necessario calcolare separatamente i vari termini che compaiono nella formula del quadrato di un binomio:
– Il quadrato del primo termine:
((1)/(2)x y)^2 = (1)/(4)x^2 y^2
– Il doppio prodotto del primo termine per il secondo:
2·(1)/(2)x y·(-2 a) = -2a x y
– Il quadrato del secondo termine:
(-2a)^2 = 4a^2
Scrivendo i vari termini ottenuti, si ottiene:
((1)/(2)x y-2a)^2 = (1)/(4)x^2 y^2-2a xy+4a^2
Errori frequenti nello sviluppo del quadrato di binomio
Nella risoluzione degli esercizi in cui bisogna calcolare il quadrato di uno o più binomi, è facile commettere errori di segno o dimenticare il doppio prodotto. Tuttavia, è importante ricordare che il quadrato di un binomio è sempre un trinomio, ovvero un polinomio con tre termini.
Inoltre, se i termini del binomio sono concordi (cioè hanno lo stesso segno), allora il suo quadrato avrà tutti i coefficienti positivi. Se invece i termini del binomio sono discordi (cioè hanno segni opposti), è importante ricordare che il segno del doppio prodotto deve essere negativo.
Scomposizione con il quadrato di binomio
La scomposizione di un polinomio consiste nell’esprimerlo come prodotto di altri polinomi di grado inferiore. Uno dei metodi più utilizzati per scomporre i polinomi è la formula del quadrato di un binomio, che è anche utilizzata per determinare gli sviluppi. In particolare, la formula del quadrato di un binomio può essere utilizzata per scomporre i trinomi.
La formula del quadrato di un binomio è:
(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2
Grazie alla proprietà simmetrica dell’uguaglianza, possiamo anche leggere la relazione precedente nel verso opposto:
A^2+2AB+B^2 = (A+B)^2
In questo modo possiamo scomporre il trinomio come prodotto tra due polinomi di grado inferiore e positivo.
Nella pratica, per verificare se un trinomio è lo sviluppo di un quadrato di binomio, dobbiamo seguire i seguenti passi:
- Individuare due monomi quadratici tra i termini del trinomio, e verificare che siano preceduti dallo stesso segno;
- Considerare i monomi quadratici come potenze con esponente 2 e procedere al calcolo delle relative basi;
- Verificare che il doppio prodotto delle basi trovate al punto 2 sia uguale al restante termine del trinomio.
Se le condizioni 1) e 2) sono soddisfatte, allora il trinomio è lo sviluppo di un quadrato di binomio e può essere scomposto come quadrato della somma o della differenza delle basi. Il segno presente tra le basi dipenderà dal segno del doppio prodotto.
Conclusioni
Conoscere la formula del quadrato di un binomio è utile non solo per calcolare gli sviluppi, ma anche per scomporre i trinomi. Attraverso questo metodo, è possibile semplificare i calcoli e risolvere rapidamente gli esercizi che coinvolgono la scomposizione di polinomi.
Fonte: YouMath.it
Scomposizione con il quadrato di binomio
La scomposizione con il quadrato di binomio è una tecnica di algebra che permette di scomporre un trinomio nella forma di un quadrato di binomio. Questa tecnica è molto utile perché permette di semplificare la forma di un polinomio e renderlo più facile da manipolare.
Esempio 1:
Consideriamo il trinomio:
4x2 – 12xy + 9y2
È possibile riconoscere i due quadrati, 4x2 e 9y2, entrambi preceduti dallo stesso segno. In questo caso, possiamo procedere al calcolo delle basi:
- 4x2 → 2x
- 9y2 → 3y
Il loro doppio prodotto è:
2 · 2x · 3y = 12xy
che coincide, a meno del segno, con il termine restante del trinomio di partenza. Siamo effettivamente in presenza di un trinomio che è lo sviluppo di un quadrato di binomio; poiché il doppio prodotto è preceduto dal segno meno, lo scomponiamo nel modo seguente:
4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2
In caso di dubbi nulla ci vieta di verificare che il risultato sia corretto sviluppando il quadrato del binomio risultante.
Esempio 2:
Consideriamo il trinomio:
-5x7 + 20x4y2 – 20xy4
Innanzitutto, osserviamo che tutti i monomi hanno in comune un fattore 5x. Possiamo quindi esprimere il polinomio come prodotto tra un monomio e un polinomio:
5x(-x6 + 4x3y2 – 4y4)
In realtà quello che abbiamo effettuato è un raccoglimento a fattore comune, una tecnica di scomposizione che affronteremo nel dettaglio in una delle lezioni successive.
Il trinomio tra parentesi ha tutta l’aria di essere lo sviluppo di un quadrato di binomio. Verifichiamolo: abbiamo due termini quadratici con lo stesso segno, -x6 e -4y4. Poiché essi hanno segno negativo, conviene ricondurci al caso con segno positivo, risc
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