VETTORI
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Il concetto di vettore è stato creato per rappresentare grandezze fisiche come lo spostamento, la velocità e la forza, le quali richiedono una rappresentazione più complessa di un numero e un’unità di misura. Per approfondire il tema, è possibile consultare l’articolo sui vettori in Fisica. In questa lezione, invece, tratteremo il concetto di vettore come ente geometrico, spiegando le principali nozioni correlate.
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Saranno illustrate le definizioni di vettore nel piano, vettori equipollenti, differenza tra vettore libero e applicato e il concetto di versore. Inoltre, verranno descritte le componenti di un vettore nel piano e si estenderà il concetto di vettore allo spazio tridimensionale. Infine, si farà una breve menzione dei vettori in R^n.
Spiegazione sul concetto di vettore
Definizione geometrica
Un vettore è un segmento orientato che va dal punto A al punto B. La sua direzione è data dalla retta che passa per i due estremi del segmento, mentre il suo verso è l’orientamento che si ha sulla retta da A a B o da B ad A. Il modulo del vettore è la sua lunghezza, misurata rispetto ad un’unità di misura definita.
Rappresentazione grafica
Un vettore può essere rappresentato graficamente come una freccia che parte dal punto A e arriva al punto B. Si indica con la notazione →AB, che significa “il vettore che va dal punto A al punto B”. Viceversa, se si indica il vettore →BA, si sta facendo riferimento alla freccia che parte dal punto B e arriva al punto A.
Fonte del contenuto: https://www.tutorvista.com/math/vectors
Tipi di vettori
Vettore applicato
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Un vettore applicato è definito da un punto iniziale e un punto finale, come il vettore overrightarrowAB nella prima immagine.
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Vettori equipollenti
Due vettori applicati overrightarrowAB e overrightarrowCD si dicono equipollenti se soddisfano una delle seguenti condizioni:
(a) A coincide con C e B coincide con D;
(b) overrightarrowAB e overrightarrowCD sono sulla stessa retta e hanno lo stesso modulo e lo stesso verso;
(c) overrightarrowAB e overrightarrowCD sono su rette parallele distinte e hanno lo stesso modulo e lo stesso verso.
In altre parole, due o più vettori sono equipollenti se hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. L’equipollenza tra vettori è una relazione di equivalenza, che è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Classi di equipollenza
L’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un vettore applicato overrightarrowAB costituisce una classe di equipollenza. Ogni classe è composta da tutti i segmenti orientati che hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. Di conseguenza, due classi di equipollenza differiscono tra loro per almeno una di queste tre proprietà.
Vettore libero
Un vettore libero, o semplicemente vettore, è una classe di equipollenza di vettori applicati. Viene indicato con una lettera minuscola dell’alfabeto sormontata da una freccia (v) o scritta in grassetto (v). In altre parole, un vettore libero è l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un vettore applicato overrightarrowAB, che è il rappresentante della classe di equipollenza.
Altri tipi di vettori
Vettore nullo
Il vettore nullo, indicato generalmente con 0 o 0, ha un modulo pari a zero e una direzione e un verso indeterminati. In uno spazio vettoriale, è l’elemento neutro dell’operazione di addizione ed è unico.
Versori
Un versore è un vettore di lunghezza unitaria, ovvero con modulo uguale a 1. Viene usato per caratterizzare altri vettori e individuare una specifica direzione.
Dato un vettore v, è possibile associargli un versore vers(v), definito come il rapporto tra il vettore v e il suo modulo ||v||:
vers(v) = v / ||v||
Il versore associato a un vettore ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore corrispondente, ma ha modulo pari a 1.
Componenti cartesiane di un vettore nel piano
Sistema di assi cartesiani ortogonali
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Consideriamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, detto piano cartesiano, e un vettore applicato v = overrightarrowOA con punto di applicazione nell’origine del sistema di riferimento.
Componenti cartesiane di un vettore
Le componenti cartesiane del vettore v = overrightarrowOA sono le coordinate cartesiane del punto A, e si indicano con v_x e v_y. La componente v_x è la proiezione del vettore sulle ascisse, mentre la componente v_y è la proiezione sulle ordinate.
Calcolo delle componenti cartesiane
Conoscendo il modulo v = ||v|| del vettore e l’angolo θ che il vettore forma con l’asse delle ascisse, è possibile calcolare algebricamente le sue componenti utilizzando le formule trigonometriche sul triangolo rettangolo:
v_x = v cos(θ)
v_y = v sin(θ)
Notazione vettoriale
Una volta scomposto il vettore v nelle sue componenti v_x e v_y, è possibile indicarlo con la seguente notazione vettoriale:
v = (v_x, v_y)
oppure, in modo equivalente,
v = v_x i + v_y j
dove i e j sono i versori che rappresentano le direzioni degli assi coordinati.
Ricostruzione del vettore
Conoscendo le componenti v_x e v_y di un vettore, è possibile ricostruirlo utilizzando le seguenti formule:
||v|| = √(v_x^2 + v_y^2)
cos(θ) = v_x / ||v||
sin(θ) = v_y / ||v||
Componenti di un vettore dello spazio
Un vettore nello spazio può essere rappresentato attraverso un sistema di assi cartesiani ortogonali x, y, z. Le componenti cartesiane di un vettore v = overrightarrowOA sono date dalle coordinate cartesiane del punto A e si indicano con v_x, v_y e v_z, rispettivamente la componente lungo l’asse delle ascisse, delle ordinate e delle quote.
Per trovare le componenti cartesiane di un vettore dello spazio, dobbiamo individuare l’angolo che il vettore forma con l’asse z e la proiezione del vettore sul piano xy, che chiameremo v_(xy). L’angolo θ che il vettore forma con l’asse z è dato dalla formula θ = cos^(-1)(v_z/||v||), dove ||v|| è il modulo del vettore. La proiezione del vettore sul piano xy è data da v_(xy) = v sin(θ).
Per trovare le componenti v_x e v_y, dobbiamo individuare l’angolo φ che la proiezione del vettore sul piano xy forma con l’asse x. L’angolo φ è dato da φ = tan^(-1)(v_y/v_x). Quindi, le componenti cartesiane del vettore sono:
- v_x = v sin(θ) cos(φ)
- v_y = v sin(θ) sin(φ)
- v_z = v cos(θ)
Il vettore può quindi essere rappresentato dalle sue componenti cartesiane v_x, v_y e v_z, ovvero:
v = (v_x, v_y, v_z)
Oppure, equivalentemente, mediante i suoi versori i, j e k:
v = v_x i + v_y j + v_z k
Se sono note le componenti cartesiane di un vettore dello spazio, il suo modulo può essere trovato dalla formula ||v|| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2), mentre gli angoli θ e φ possono essere trovati tramite le formule:
- cos(θ) = (v_z)/(||v||)
- cos(φ) = (v_x)/(||v||sin(θ))
- sin(φ) = (v_y)/(||v||sin(θ))
Componenti di un vettore come differenza tra due punti
Un vettore applicato v = AB può essere rappresentato come la differenza tra le coordinate cartesiane dell’estremo finale B e del punto di applicazione A. In formule:
v = B – A
Questa espressione ci permette di calcolare le componenti del vettore v sapendo le coordinate cartesiane dei due punti A e B.
Si noti che la sottrazione di un punto dal punto di applicazione corrisponde all’operazione di somma del vettore opposto, quindi:
v = AB = -BA
Vettori in Rn
In matematica, i vettori in R^n, con n ∈ N e n ≥ 4, sono assegnati come n-uple ordinate di numeri reali. Ogni elemento della n-upla individua una componente del vettore.
Rappresentazione dei vettori in R^n
I vettori in R^n vengono rappresentati come:
- v = (v1, v2, …, vn) ∈ Rn
dove v1, v2, …, vn sono i valori delle componenti del vettore e Rn indica lo spazio vettoriale di dimensione n.
Calcolo del modulo del vettore in R^n
Per i vettori in R^n, è possibile calcolare il modulo, che è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti:
- v: = ||v|| = √(v12 + v22 + … + vn2)
Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)
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