In geometria, un angolo è una figura che rappresenta la porzione di piano o di spazio compresa tra due semirette che partono dallo stesso punto, detto vertice. L’ampiezza di un angolo viene generalmente misurata in gradi, e l’angolo giro, che rappresenta un’intera circonferenza, corrisponde a 360°. Calcolare l’ampiezza di un angolo specifico può richiedere diverse conoscenze, tra cui la forma del poligono in cui l’angolo è incluso e la misura degli altri angoli.
In alcuni casi particolari, come ad esempio in un triangolo rettangolo, è possibile calcolare l’ampiezza di un angolo conoscendo solo la misura dei due lati adiacenti ad esso. Se vuoi misurare l’ampiezza di un angolo fisicamente, puoi utilizzare uno strumento chiamato goniometro. In alternativa, se hai accesso ad una calcolatrice grafica, puoi utilizzarla per calcolare l’ampiezza di un angolo basandoti sui dati a tua disposizione, come ad esempio le lunghezze dei lati del poligono o la posizione degli altri angoli.
Calcolo degli Angoli Interni di un Poligono
Conteggio dei lati del Poligono
Prima di calcolare l’ampiezza degli angoli interni di un poligono, è necessario determinare il numero dei suoi lati. Il numero di angoli interni di un poligono è sempre uguale al numero dei suoi lati. Ad esempio, un triangolo ha 3 lati e quindi ha 3 angoli interni, mentre un quadrato ha 4 lati e quindi ha 4 angoli interni.
Calcolo dell’ampiezza totale degli angoli interni
La somma totale degli angoli interni di un poligono può essere calcolata utilizzando la seguente formula: (n – 2) x 180, dove n rappresenta il numero dei lati del poligono. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo (3 lati) è 180°, mentre la somma degli angoli interni di un quadrilatero (4 lati) è 360°.
Somme degli angoli interni dei poligoni più comuni:
- Triangolo (3 lati): 180°
- Quadrilatero (4 lati): 360°
- Pentagono (5 lati): 540°
- Esagono (6 lati): 720°
- Ottagono (8 lati): 1.080°
Calcolo dell’ampiezza degli angoli interni di un Poligono Regolare
Un poligono è definito regolare se ha lati della stessa lunghezza e angoli interni della stessa ampiezza. In tal caso, la somma degli angoli interni del poligono regolare può essere divisa per il numero dei suoi angoli per trovare l’ampiezza di ciascun angolo interno. Ad esempio, l’ampiezza di ogni angolo interno di un triangolo equilatero (con lati della stessa lunghezza) è 60°, mentre l’ampiezza di ogni angolo interno di un quadrato (con lati della stessa lunghezza) è 90°.
Cosa sono gli angoli e come si misurano? – Geometria – Secondaria di Primo Grado – YouTube
Esempi di Poligoni Regolari:
- Triangolo Equilatero
- Quadrato
- Pentagono Regolare (esempio: Palazzo del Pentagono a Washington D.C.)
- Ottagono Regolare (esempio: Segnale Stradale di Stop)
Calcolo dell’ampiezza di un angolo in un Poligono Irregolare
Calcolo dell’angolo sconosciuto conosciuti gli altri angoli
Nel caso di un poligono irregolare, l’ampiezza di un angolo sconosciuto può essere calcolata sottraendo l’ampiezza degli altri angoli noti dalla somma totale degli angoli interni del poligono. In questo modo, la differenza tra l’ampiezza totale degli angoli interni del poligono e la somma degli angoli noti darà l’ampiezza dell’angolo sconosciuto.
Esempio:
Se 4 angoli di un pentagono misurano rispettivamente 80°, 100°, 120° e 140°, la loro somma sarà pari a 440°. Sapendo che la somma di tutti gli angoli interni di un pentagono è pari a 540°, è possibile calcolare l’ampiezza dell’angolo rimanente eseguendo una semplice sottrazione: 540 – 440 = 100°. Quindi, l’angolo sconosciuto del pentagono di esempio ha un’ampiezza di 100°.
Calcolo dell’ampiezza di un angolo in un Poligono Irregolare con lati non della stessa lunghezza
Nel caso di un poligono i cui lati non hanno tutti la stessa lunghezza e quindi gli angoli non hanno tutti la medesima ampiezza, per calcolare l’ampiezza di un angolo specifico, è necessario conoscere la somma di tutti gli angoli interni conosciuti. Dopodiché, dovrai sottrarre il valore ottenuto dall’ampiezza totale degli angoli interni del poligono in esame.
Esempio:
Supponiamo di avere un poligono con angoli interni di 60°, 70°, 80° e 90°. La loro somma sarà pari a 300°. Sapendo che la somma di tutti gli angoli interni di un quadrilatero è 360°, l’ampiezza dell’angolo sconosciuto sarà pari a 360° – 300° = 60°.
Peculiarità dei Poligoni particolari
Alcuni poligoni particolari hanno delle caratteristiche che consentono di calcolare rapidamente l’ampiezza degli angoli sconosciuti. Ad esempio, in un triangolo isoscele con due lati della stessa lunghezza, i due angoli opposti ai lati uguali avranno la stessa ampiezza. In un parallelogramma, i lati opposti hanno la stessa lunghezza, quindi gli angoli opposti avranno la stessa ampiezza.
Esempi:
- Triangolo Isoscele: due angoli uguali (ampiezza uguale) opposti ai lati uguali
- Parallelogramma: angoli opposti hanno la stessa ampiezza
Calcolo degli Angoli di un Triangolo Rettangolo
Definizione del Triangolo Rettangolo
Per definizione, un triangolo rettangolo ha un angolo interno con ampiezza di 90°, anche se non viene specificato esplicitamente. Questa caratteristica del triangolo rettangolo ci aiuta a calcolare gli angoli sconosciuti.
Misurazione dei Cateti del Triangolo
Per calcolare gli angoli di un triangolo rettangolo, dobbiamo prima misurare la lunghezza dei due cateti del triangolo. Il lato più lungo di un triangolo rettangolo è chiamato “ipotenusa”. Il cateto o il lato che è adiacente all’angolo che vogliamo calcolare viene chiamato “adiacente”, mentre il cateto o il lato opposto all’angolo che vogliamo calcolare viene chiamato “opposto”.
Utilizzo delle Funzioni Trigonometriche
Con la conoscenza della lunghezza dei due cateti del triangolo, possiamo utilizzare le funzioni trigonometriche per calcolare l’ampiezza degli altri due angoli.
Formula trigonometrica “Seno”
Se conosciamo la lunghezza del lato opposto e dell’ipotenusa, possiamo utilizzare la funzione trigonometrica “seno” per calcolare l’ampiezza dell’angolo opposto. La formula completa che dovremo utilizzare è: sin(x) = lato_opposto ÷ ipotenusa.
Esempio:
Supponiamo di conoscere la lunghezza del lato opposto del triangolo rettangolo (5 unità) e la lunghezza dell’ipotenusa (10 unità). Dividendo il lato opposto per l’ipotenusa, otteniamo il valore di 0,5. Sapendo che sin(x) = 0,5, possiamo risolvere l’equazione per trovare l’ampiezza dell’angolo opposto, ottenendo che x = sin-1 (0,5), ovvero l’angolo opposto è di 30°.
Utilizzo di una Calcolatrice Grafica
Per risolvere rapidamente le equazioni trigonometriche, possiamo utilizzare una calcolatrice grafica. In alternativa, possiamo cercare online una tabella che riassuma i valori delle varie funzioni trigonometriche come il seno, il coseno e la tangente.
Consiglio:
Se non disponiamo di una calcolatrice grafica, possiamo utilizzare uno dei tanti siti web che riportano le tabelle delle funzioni trigonometriche per ottenere il valore della funzione inversa del seno. In questo modo, possiamo risolvere le equazioni trigonometriche e trovare facilmente l’ampiezza degli angoli di un triangolo rettangolo.
Calcolo degli Angoli di un Triangolo Rettangolo
Funzioni Trigonometriche
Per calcolare gli angoli di un triangolo rettangolo, possiamo utilizzare le funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente.
Formula trigonometrica “Coseno”
Se conosciamo la lunghezza del lato adiacente e dell’ipotenusa, possiamo utilizzare la funzione trigonometrica “coseno” per calcolare l’ampiezza dell’angolo adiacente. La formula completa che dovremo utilizzare è: cos(x) = lato_adiacente ÷ ipotenusa.
Esempio:
Supponiamo di conoscere la lunghezza del lato adiacente all’angolo da calcolare (1,666 unità) e la lunghezza dell’ipotenusa (2 unità). Dividendo il lato adiacente per l’ipotenusa, otteniamo il valore di 0,833. Sapendo che cos(x) = 0,833, possiamo risolvere l’equazione per trovare l’ampiezza dell’angolo adiacente, ottenendo che x = cos-1 (0,833), ovvero l’angolo adiacente è di 33,6°.
Formula trigonometrica “Tangente”
Se conosciamo la lunghezza del lato opposto e del lato adiacente all’angolo che vogliamo calcolare, possiamo utilizzare la funzione trigonometrica “tangente” per calcolare l’ampiezza dell’angolo opposto. La formula completa che dovremo utilizzare è: tan(x) = lato_opposto ÷ lato_adiacente.
Esempio:
Supponiamo di conoscere la lunghezza del lato opposto all’angolo da calcolare (75 unità) e la lunghezza del lato adiacente all’angolo da calcolare (100 unità). Dividendo il lato opposto per il lato adiacente, otteniamo il valore di 0,75. Sapendo che tan(x) = 0,75, possiamo risolvere l’equazione per trovare l’ampiezza dell’angolo opposto, ottenendo che x = tan-1 (0,75), ovvero l’angolo opposto è di 36,9°.
Utilizzo di una Calcolatrice Grafica
Per risolvere rapidamente le equazioni trigonometriche, possiamo utilizzare una calcolatrice grafica. In alternativa, possiamo cercare online una tabella che riassuma i valori delle varie funzioni trigonometriche come il seno, il coseno e la tangente.
Tipo di angoli
Esistono diverse tipologie di angoli i cui nomi variano in base all’ampiezza.
- Un angolo si dice retto quando ha un’ampiezza di 90°.
- Un angolo è acuto quando la sua ampiezza è maggiore di 0°, ma inferiore a 90°.
- Un angolo si dice ottuso quando la sua ampiezza è maggiore di 90°, ma inferiore a 180°.
- Un angolo si dice piatto quando la sua ampiezza è pari a 180°.
- Un angolo si definisce concavo quando la sua ampiezza è superiore ai 180°.
Angoli Complementari e Supplementari
Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90°. Ad esempio, i due angoli non retti di un triangolo rettangolo sono sempre complementari.
Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 180°.
Stai guardando: Come determinare la misura degli angoli
