Il dominio di una funzione indica l’insieme di valori per cui la funzione è definita e ha senso matematicamente. La determinazione del dominio di una funzione reale di variabile reale è essenziale nell’Analisi Matematica. In questa lezione, forniremo una guida completa per determinare il dominio di una funzione reale di variabile reale.
Esistono semplici regole che ci permettono di determinare il campo di esistenza di qualsiasi funzione e sarà nostro compito mostrarle in dettaglio. Sarà quindi possibile, mediante l’osservazione di tali regole, determinare il dominio di qualsiasi funzione reale di variabile reale.
Considerazioni preliminari sul dominio
Nelle lezioni sulla definizione di funzione e sulla rappresentazione di una funzione reale a valori reali nel piano cartesiano abbiamo accennato al concetto di dominio di una funzione f:A ⊆ R → R, f:x → y detto anche insieme di definizione o, più impropriamente, campo di esistenza della funzione.
Il dominio di una funzione si indica con Dom(f) e viene talvolta detto dominio naturale della funzione. Per definizione esso è il più grande sottoinsieme di R, (al più tutto R), in cui ha senso valutare la funzione y = f(x). In riferimento alla scrittura precedente il dominio della funzione f è semplicemente l’insieme di partenza Dom(f) = A.
Cosa significa “ha senso valutare la funzione”?
Dire che ha senso valutare la funzione o che la funzione è definita vuol dire che, considerando i valori di x appartenenti a Dom(f) e sostituendo tali valori nell’espressione analitica di f, è possibile fare i calcoli.
In altre parole, non ci sono “cose strane”: le operazioni algebriche che ne risultano devono essere ben definite e devono fornire un determinato valore numerico, o meglio un valore reale. In altre parole ancora, x∈ Dom(f) se è possibile effettuare la valutazione y = f(x), trovando così il numero y che la funzione restituisce per la preimmagine x.
Fonte: youmath.it
Esempi sul dominio di funzioni
Esempio 1: Funzione polinomiale
Consideriamo la funzione polinomiale
f(x) = (1)/(9)x^3+x^2-3x+9
e consideriamo il punto x = 3. Sostituendo tale valore nell’espressione di x e facendo i calcoli troviamo y = f(3) = 12. La funzione è quindi definita in x = 3 e tale numero reale appartiene a Dom(f).
Dominio di una Funzione : cos’è e come trovarlo – YouTube
Esempio 2: Funzione razionale
Consideriamo la funzione
f(x) = (x^2+2)/(x+5)
Preso un qualsiasi numero reale x ad eccezione di -5 (∀ x ≠-5) possiamo valutare la funzione nel punto x: nessun problema.
Se però proviamo a calcolare y = f(-5), troviamo che l’espressione della funzione restituisce a denominatore -5+5 = 0. Da che mondo è mondo non si può dividere per zero, quindi x = -5 non appartiene al dominio della funzione.
Di conseguenza il dominio della funzione è tutto l’asse reale escluso il punto x = -5. In simboli Dom(f) = x∈R : x < -5 ∨ x > -5 = (-∞,-5) U (-5,+∞).
Esempio 3: Funzione esponenziale
Consideriamo la funzione
f(x) = e^(x)-3
Scegliamo un qualsiasi valore reale x e sostituiamolo nell’espressione, valutando la funzione y = f(x) in tale punto. Nessun problema: il dominio della funzione è tutto l’asse reale Dom(f) = R = (-∞,+∞).
Esempio 4: Funzione logaritmica
Consideriamo la funzione
f(x) = ln(x)
La funzione logaritmica per definizione deve avere argomento positivo. Pertanto, il dominio della funzione è dato da Dom(f) = x∈R tali che x > 0 = (0,+∞), cioè l’insieme dei numeri reali positivi che possiamo anche denotare con R^+.
Esempio 5: Funzione radicale
Consideriamo la funzione
f(x) = √(x+2)
Possiamo valutare tale funzione in qualsiasi x che soddisfi x+2 ≥ 0. Risolvendo questa semplice disequazione si trova che il dominio della funzione è dato da Dom(f) = x∈R tali che x ≥ -2 = [-2,+∞), ossia il dominio di f è dato da tutte le x che sono maggiori o uguali a -2.
Esempio
Come trovare il dominio di una funzione
Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme di R in cui ha senso valutare la funzione. Esso viene indicato con Dom(f) e, per definizione, è l’insieme di partenza della funzione.
Regole per trovare il dominio di una funzione
Per calcolare il dominio di una funzione, occorre rispettare alcune regole che dipendono dalle proprietà matematiche delle funzioni stesse. Le uniche condizioni da verificare sono le seguenti:
- Ogni volta che c’è una frazione, il denominatore deve essere diverso da zero.
- Ogni volta che c’è un logaritmo, l’argomento deve essere maggiore di zero e la base deve essere maggiore di zero e diversa da 1.
- Ogni volta che c’è una radice con indice pari, l’argomento deve essere maggiore o uguale a zero.
- Ogni volta che c’è un arcoseno o un arcocoseno, l’argomento deve essere compreso tra -1 e 1, estremi inclusi.
- Ogni volta che c’è un’arcosecante o un’arcocosecante, l’argomento deve essere minore o uguale a -1 o maggiore o uguale a 1.
- Ogni volta che c’è una esponenziale con base variabile, la base deve essere maggiore di zero.
- Se non compare nessuno dei personaggi appena citati, il dominio è tutto R.
Esempi di dominio di funzioni
Di seguito, alcuni esempi pratici di come applicare le regole per trovare il dominio di una funzione:
- Funzione razionale: ogni volta che c’è una frazione, il denominatore deve essere diverso da zero. Ad esempio, se consideriamo la funzione
- Funzione logaritmica: ogni volta che c’è un logaritmo, l’argomento deve essere maggiore di zero e la base deve essere maggiore di zero e diversa da 1. Ad esempio, se consideriamo la funzione
- Funzione radicale: ogni volta che c’è una radice con indice pari, l’argomento deve essere maggiore o uguale a zero. Ad esempio, se consideriamo la funzione
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