La proprietà associativa è una proprietà algebrica che può essere applicata all’addizione e alla moltiplicazione. In pratica, ciò significa che quando si ha un’addizione con più addendi o una moltiplicazione con più fattori, è possibile sostituire alcuni termini con la loro somma o prodotto, rispettivamente, senza cambiare il risultato finale dell’operazione.
In altre parole, l’ordine in cui gli addendi o i fattori sono raggruppati non influisce sul risultato finale. La proprietà associativa può essere molto utile quando si lavora con espressioni algebriche complesse, in quanto consente di semplificare l’operazione raggruppando insieme i termini.
La proprietà associativa nelle operazioni matematiche
La proprietà associativa è un principio matematico che afferma che l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni non influisce sul risultato finale. In particolare, l’operazione gode della proprietà associativa se il risultato della stessa operazione tra tre o più numeri non cambia a seconda di come vengono raggruppati gli addendi o i fattori.
Proprietà associativa dell’addizione
L’addizione gode della proprietà associativa, come dimostrato dal seguente esempio:
15 + 23 + 22 = 60
15 + (23 + 22) = 60
(15 + 23) + 22 = 60
In tutti i casi il risultato finale è lo stesso, cioè 60.
Proprietà associativa della sottrazione
La sottrazione, al contrario dell’addizione, non gode della proprietà associativa. Ad esempio:
55 – 23 – 22 = 10
55 – (23 – 22) = 54
Come si può notare, il risultato finale è diverso a seconda di come vengono raggruppati i numeri.
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Proprietà associativa della moltiplicazione
Anche la moltiplicazione gode della proprietà associativa, come mostrato nell’esempio seguente:
3 × 5 × 2 = 30
(3 × 5) × 2 = 30
3 × (5 × 2) = 30
Proprietà associativa della divisione
La divisione non gode della proprietà associativa, come evidenziato dal seguente esempio:
18 ÷ 6 ÷ 3 = 1
18 ÷ (6 ÷ 3) = 9
Il risultato finale è diverso a seconda di come vengono raggruppati i numeri.
La proprietà associativa dell’addizione
La proprietà associativa dell’addizione afferma che l’ordine con cui si eseguono le operazioni non influisce sul risultato finale quando si sommano tre o più addendi. Ad esempio:
8 + 2 + 4 + 7 = 21
Questa addizione può essere eseguita in diversi modi, associando in modo diverso i vari addendi:
8 + 2 (10) + 4 + 7 = 10 + 4 + 7 = 10 + 4 (14) + 7 = 14 + 7 = 21
8 + 2 + 4 (6) + 7 = 8 + 6 + 7 = 8 + 6 (14) + 7 = 14 + 7 = 21
8 + 2 + 4 (14) + 7 = 14 + 7 = 21
La proprietà associativa dell’addizione vale per i numeri naturali, relativi e razionali. In sintesi, la proprietà associativa dell’addizione può essere enunciata come:
La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.
Per maggiori approfondimenti, si può consultare la seguente fonte:
https://www.matematica.it/proprieta-associativa-dell-addizione/
La proprietà associativa della moltiplicazione
La proprietà associativa della moltiplicazione afferma che il prodotto di tre o più fattori non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce il loro prodotto. Ad esempio:
5 × 2 × 8 × 4 = 320
Questo calcolo può essere eseguito in diversi modi, associando in modo diverso i fattori:
5 × 2 (10) × 8 × 4 = 10 × 8 × 4 = 10 × 8 (80) × 4 = 80 × 4 = 320
5 × 2 × 8 (16) × 4 = 5 × 16 × 4 = 5 × 16 (80) × 4 = 80 × 4 = 320
L’utilizzo della proprietà associativa della moltiplicazione può favorire il calcolo mentale e semplificare i conti. Ad esempio, consideriamo il seguente calcolo:
5 × 6 × 4 × 25 = ?
Eseguendolo nell’ordine, otteniamo:
5 × 6 (30) × 4 × 25 = 30 × 4 (120) × 25 = 120 × 25 = ??
Se vogliamo utilizzare la proprietà associativa della moltiplicazione, possiamo raggruppare i fattori in modo diverso:
5 × 6 × 4 × 25 = 5 × 6 (30) × 4 × 25 (100) = 30 × 100 = 3000
Come si può notare, l’utilizzo della proprietà associativa ha semplificato il calcolo e reso possibile il calcolo mentale.
Per approfondire l’argomento, si può consultare la seguente fonte:
https://www.tuttoformule.it/proprieta-associativa-moltiplicazione/
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