Le proprietà dei logaritmi sono regole che semplificano il calcolo dei logaritmi e consentono di riscrivere le operazioni tra logaritmi in una forma più semplice. In questo articolo, introdurremo la definizione di logaritmo e presenteremo le proprietà dei logaritmi attraverso esempi.
Potete leggere l’elenco delle proprietà e i relativi esempi per svolgere gli esercizi rapidamente. In alternativa, se volete una conoscenza teorica completa, le dimostrazioni delle proprietà sono disponibili alla fine dell’articolo. Non ci saranno duplicati di informazioni in quanto lo scopo è fornire dettagli senza ripetizioni.
Principali proprietà dei logaritmi
Le proprietà dei logaritmi sono applicabili a qualsiasi base del logaritmo (la a nell’espressione log_a(b)), ma è importante ricordare che la base e l’argomento devono essere maggiori strettamente di zero (inoltre, la base deve essere diversa da 1). Questi requisiti devono essere soddisfatti sempre.
1) Definizione di logaritmo
Il logaritmo di un numero rappresenta l’esponente a cui bisogna elevare la base per ottenere quel numero. In altre parole, il logaritmo di un numero x in base a, scritto come log_a(x), è l’esponente y tale che a^y=x.
2) Logaritmo del prodotto
Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli numeri. In altre parole, log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y).
3) Regola dell’esponente
Il logaritmo di un numero elevato ad un esponente è uguale all’esponente moltiplicato per il logaritmo del numero. In altre parole, log_a(x^y) = y * log_a(x).
4) Logaritmo del rapporto
Il logaritmo del rapporto di due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi dei singoli numeri. In altre parole, log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y).
Proprietà dei Logaritmi e Formula del Cambiamento di Base – YouTube
5) Formula del cambiamento di base per logaritmi
La formula del cambiamento di base per logaritmi consente di convertire un logaritmo in una base diversa in un logaritmo nella base desiderata. In altre parole, log_a(x) = log_b(x) / log_b(a).
6) Formula di inversione per i logaritmi
La formula di inversione per i logaritmi permette di calcolare la base di un logaritmo, conoscendone l’argomento e il valore del logaritmo. In altre parole, se log_a(x) = y, allora a = x^(1/y).
Proprietà dei logaritmi
Riscrittura alternativa di un logaritmo
Una proprietà dei logaritmi molto utile è la seguente: a^(log_a(b)) = b se a,b > 0 e a ≠ 1. Questa proprietà, in realtà, è solo una semplice riscrittura della definizione di logaritmo. Infatti, per definizione, log_a(b) è quel numero c tale che a^c = b. L’identità è valida solo se a > 0, a ≠ 1, b > 0, come richiesto dalla definizione di logaritmo. Sostituendo log_a(b) con c, l’identità diventa a^c = b. Questa riscrittura è un utile trucco algebrico che permette di semplificare situazioni complesse. È importante notare che questa proprietà non ha un utilizzo intuitivo, ma con l’esperienza si capisce quando usarla.
Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi
Un’altra proprietà molto utile dei logaritmi è la seguente: log_a(b·c) = log_a(b) + log_a(c) se a,b,c > 0 e a ≠ 1. In altre parole, per qualsiasi base, se si ha il logaritmo in base a di un prodotto bc, è possibile riscriverlo come la somma dei logaritmi, entrambi in base a, di b e c. Questa proprietà si estende al caso di tanti fattori. Ad esempio, il logaritmo in base 3 di 18 può essere riscritto come log_3(2) + 2, utilizzando questa proprietà. Allo stesso modo, il logaritmo in base 5 di (2x^3+9)y può essere riscritto come log_5(2x^3+9) + log_5(y).
Proprietà dei logaritmi
Regola dell’esponente
La regola dell’esponente per i logaritmi stabilisce che log_a(b^c) = clog_a(b) se a,b > 0 e a ≠ 1. In altre parole, ogni volta che l’argomento di un logaritmo ha un esponente, possiamo portarlo davanti al logaritmo e farlo diventare un coefficiente.
Il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi
Un’altra importante proprietà dei logaritmi è la seguente: log_a((b)/(c)) = log_a(b) – log_a(c) se a,b,c > 0 e a ≠ 1. In altre parole, quando abbiamo un logaritmo contenente una frazione, possiamo riscriverlo come la differenza tra il logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, indipendentemente dalla base utilizzata. Ad esempio, il logaritmo in base 7 di 1/49 può essere riscritto come -2, utilizzando questa proprietà. Allo stesso modo, il logaritmo in base (2/3) di (x^2+3x-1)/(x+2) può essere riscritto come log_((2)/(3))(x^2+3x-1) – log_((2)/(3))(x+2).
Proprietà dei logaritmi
Formula del cambiamento di base per i logaritmi
La formula del cambiamento di base per i logaritmi è la seguente: log_a(b) = (log_c(b))/(log_c(a)) se a,b,c > 0 e a,c ≠ 1. Questa formula ci consente di riscrivere un logaritmo con una base scomoda come un rapporto di logaritmi con una nuova base, che possiamo scegliere a nostra discrezione, purché sia diversa da 1 e positiva. In altre parole, il logaritmo di b in base a può essere riscritto come il rapporto tra il logaritmo di b in base c e il logaritmo di a in base c.
Per ricordare questa formula, possiamo pensare di riscrivere il logaritmo come un rapporto di logaritmi con la nuova base c che vogliamo utilizzare. Il logaritmo che sta sopra (a numeratore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sopra (l’argomento iniziale), il logaritmo che sta sotto (a denominatore) ha come argomento ciò che inizialmente stava sotto (la base iniziale).
Ad esempio, se vogliamo riscrivere il logaritmo in base 4 di 9 utilizzando la base 3, possiamo utilizzare la formula del cambiamento di base per ottenere: log_4(9) = (log_3(9))/(log_3(4)) = (log_3(3^2))/(log_3(4)) = (2)/(log_3(4)).
Proprietà dei logaritmi
Formula di inversione base-argomento
La formula di inversione base-argomento dei logaritmi è la seguente: log_a(b) = (1)/(log_b(a)) se a,b > 0 e a,b ≠ 1. Questa formula ci consente di riscrivere un logaritmo con una base e un argomento scomodi in un altro logaritmo con base e argomento più convenienti. In altre parole, il logaritmo di b in base a può essere riscritto come l’inverso del logaritmo di a in base b.
Ad esempio, se abbiamo il logaritmo in base 1/2 di 5 e vogliamo riscriverlo con la base 5, possiamo utilizzare la formula di inversione base-argomento per ottenere: log_((1)/(2))(5) = (1)/(log_5(1)/(2)).
È interessante notare che la formula di inversione base-argomento è in realtà una particolare riscrittura della formula del cambiamento di base. Infatti, se applichiamo la formula del cambiamento di base al logaritmo di a in base b, otteniamo: log_a(b) = (log_b(b))/(log_b(a)) = (1)/(log_b(a)), che è la formula di inversione base-argomento.
Fonte: Matematicamente.it
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