La regola di Ruffini, introdotta dal matematico Paolo Ruffini nel XVIII secolo, è una tecnica di scomposizione che consente di effettuare la scomposizione di polinomi, sotto alcune ipotesi indicate dall’omonimo teorema. Ciò che rende il metodo di Ruffini così importante è la sua efficacia anche in situazioni in cui le tecniche di scomposizione derivanti dai prodotti notevoli non riescono ad avere successo. Questa lezione mira a presentare il metodo di scomposizione di Ruffini, illustrando i passaggi coinvolti e fornendo esempi concreti per dimostrarne l’applicabilità negli esercizi.
Il Metodo di Ruffini
Cosa è il metodo di Ruffini?
Il metodo di Ruffini è una tecnica matematica utilizzata per scomporre i polinomi in fattori. Sebbene sia spesso considerato un metodo difficile da imparare dagli studenti delle scuole superiori, è uno dei modi più sicuri e meccanici per scomporre i polinomi.
Come funziona il metodo di Ruffini?
Consideriamo un polinomio P(x) scomponibile e di grado n > 1. La regola di Ruffini consente di ottenere una scomposizione di P(x) del tipo:
P(x) = D(x)Q(x)
dove D(x) e Q(x) sono polinomi rispettivamente di grado 1 e (n-1).
Quando conviene utilizzare il metodo di Ruffini?
Il metodo di Ruffini conviene quando abbiamo un polinomio scomponibile di grado 3 o superiore e dobbiamo scomporlo. Tuttavia, ci sono due avvertenze da tenere in considerazione:
1) Ruffini non conviene per i polinomi scomponibili di grado 2, perché tutte le altre tecniche di scomposizione sono nettamente più rapide;
2) se individuiamo un’alternativa a Ruffini, usiamola. Se ci prefiggiamo l’obiettivo di scomporre un polinomio scomponibile e di grado maggiore o uguale a 3, e se individuiamo un altro metodo per effettuare la scomposizione, preferiremo sempre quest’ultimo. Ruffini è una macchina da guerra e funziona sempre, ma è un metodo certamente più dispendioso rispetto alle altre tecniche.
Regola di Ruffini – YouTube
Come scomporre un polinomio con il metodo di Ruffini
Perché conviene imparare la scomposizione di Ruffini?
Il metodo di Ruffini è un modo sicuro e meccanico per scomporre i polinomi in fattori, anche se spesso viene considerato un metodo difficile da imparare dagli studenti delle scuole superiori.
Come trovare una radice per applicare la regola di Ruffini?
Per trovare una radice del polinomio, si può utilizzare il teorema delle radici razionali, secondo cui le eventuali radici razionali di un polinomio di grado n a coefficienti interi sono della forma r=(p)/(q), dove il numeratore p è un divisore del termine noto a_0 e il denominatore q è un divisore del coefficiente direttivo a_n. Nel caso in cui a_n=±1, le eventuali radici razionali r sono divisori del termine noto.
Come applicare il metodo di Ruffini?
Una volta trovata una radice del polinomio, si può procedere applicando la regola di Ruffini. Si compila una tabella in cui nella prima riga si riportano i coefficienti dei termini del polinomio ordinati per grado, mentre nella seconda riga si riporta la radice trovata. Si applica poi la regola di Ruffini completando la tabella e si ottiene la scomposizione del polinomio in fattori.
Come scomporre un polinomio con il metodo di Ruffini
Come passare dalla tabella alla scomposizione del polinomio?
Dopo aver completato la tabella di Ruffini, si può applicare il teorema di Ruffini, secondo cui un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se P(a)=0, ossia se e solo se a è una radice del polinomio. Se abbiamo trovato una radice a del polinomio, possiamo scomporlo come prodotto tra il binomio D(x)=(x-a) e un altro polinomio Q(x) di grado (n-1), dove n è il grado del polinomio iniziale.
Come reiterare Ruffini?
Dopo aver applicato Ruffini, se il polinomio Q(x) ha grado maggiore di 1, si può tentare un’ulteriore scomposizione applicando eventualmente Ruffini (per polinomi di grado maggiore o uguale a 3) o qualsiasi altra tecnica di scomposizione nota, a patto che Q(x) sia un polinomio scomponibile.
Come verificare il risultato?
Dopo aver scritto la scomposizione finale, si può verificare il risultato calcolando i prodotti tra i polinomi presenti nella scomposizione. Se il risultato del prodotto coincide con il polinomio iniziale, allora lo svolgimento è corretto.
Fonte : https://www.matematicamente.it/politecnico/fisica/48-il-metodo-di-ruffini
Come si scompone un polinomio con Ruffini?
Regola di Ruffini
La regola di Ruffini è un metodo per scomporre un polinomio in fattori, dato un suo divisore noto. Il procedimento consiste nell’applicare ripetutamente la regola del prodotto tra polinomi per ottenere la scomposizione completa del polinomio in fattori.
Applicazione della regola di Ruffini: esempio pratico
Consideriamo il polinomio
P(x) = x^4-2x^3-8x+16
e scomponiamolo applicando il procedimento secondo Ruffini.
Il polinomio ha coefficienti interi, quindi possiamo applicare il teorema delle radici razionali per cercare una radice razionale. Inoltre, poiché il coefficiente del termine di grado massimo è 1, possiamo cercare una radice tra i divisori del termine noto a_0 = 16.
-1,1,-2,2,-4,4,-8,8,-16,16
Sostituiamo i valori al posto di x nel polinomio e cerchiamo una radice per cui risulti P(x) = 0. Ad esempio, se consideriamo x = 2:
P(2) = (2)^4-2·(2)^3-8·(2)+16 = 16-16-16+16 = 0
Dunque P(2) = 0 e x = 2 è una radice del polinomio.
Il teorema di Ruffini ci dice già che potremo scrivere P(x) come
P(x) = (x-2)Q(x)
dove il polinomio di primo grado è individuato dalla radice che abbiamo appena trovato, mentre Q(x) è un polinomio di grado 4-1=3.
Per determinare Q(x) mettiamo in moto la regola e procediamo con la solita tabella:
| 1 | -2 | 0 | -8 | 16 | |
| 2 | 2 | 0 | -8 | ||
| 1 | 0 | 0 | -8 | 0 |
Nell’ultima riga abbiamo i coefficienti del secondo fattore della scomposizione, che sarà un polinomio di grado 3:
Q(x) = 1·x^3+0·x^2+0·x-8 = x^3-8
Possiamo quindi scrivere la fattorizzazione di P(x):
P(x) = (x-2)Q(x) = (x-2)(x^3-8)
Verifica del risultato
Per verificare il risultato, possiamo moltiplicare i due fattori della scomposizione e confrontare il risultato con il polinomio iniziale:
P(x) = (x-2)(x
Esempio sulla regola di Ruffini con coefficiente direttivo diverso da 1
Nei precedenti esempi abbiamo considerato polinomi con coefficiente direttivo uguale a 1. In questa circostanza una radice razionale del polinomio, se esiste, deve essere un divisore del termine noto. Vediamo un esempio di applicazione della regola di Ruffini nel caso di un polinomio con coefficiente direttivo diverso da 1.
Consideriamo il seguente polinomio a coefficienti interi:
P(x) = 4x^3-8x^2-11x-3
Il termine noto e il coefficiente del termine di grado massimo sono rispettivamente
a0 = -3 ; a3 = 4
quindi cerchiamo un’eventuale radice razionale r del tipo
r = (p)/(q) con p | a0 = -3, q | a3 = 4
Calcoliamo i divisori dei due coefficienti:
– il numeratore p rientra tra i divisori di a0 = -3
p∈-1,1,-3,3
– il denominatore q rientra tra i divisori di a3 = 4
q∈-1,1,-2,2,-4,4
A questo punto determiniamo l’insieme delle possibili radici razionali, ossia l’insieme delle frazioni che hanno a numeratore un divisore del termine noto a0 = -3 e a denominatore un divisore del coefficiente direttivo a3 = 4
(p)/(q), p = -1 → (-1)/(-1),(-1)/(1),(-1)/(-2),(-1)/(2),(-1)/(-4),(-1)/(4) ; (p)/(q), p = 1 → (1)/(-1),(1)/(1),(1)/(-2),(1)/(2),(1)/(-4),(1)/(4) ; (p)/(q), p = -3 → (-3)/(-1),(-3)/(1),(-3)/(-2),(-3)/(2),(-3)/(-4),(-3)/(4) ; (p)/(q), p = 3 → (3)/(-1),(3)/(1),(3)/(-2),(3)/(2),(3)/(-4),(3)/(4)
ossia
(p)/(q), p = -1 → 1,-1,(1)/(2),-(1)/(2),(1)/(4),-(1)/(4) ; (p)/(q), p = 1 → -1,1,-(1)/(2),(1)/(2),-(1)/(4),(1)/(4) ; (p)/(q), p = -3 → 3,-3,(3)/(2),-(3)/(2),(3)/(4),-(3)/(4) ; (p)/(q), p = 3 → -3,3,-(3)/(2),(3)/(2),
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