Il teorema di Pitagora è un importante concetto della Geometria Piana che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. In particolare, il teorema afferma che il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei due cateti, ovvero i^2 = c1^2 + c2^2. Questo teorema è importante perché consente di calcolare la lunghezza di uno dei lati del triangolo (ipotenusa o cateto) conoscendo le lunghezze degli altri due.
Il teorema di Pitagora è spesso insegnato nelle scuole medie e superiori, ma le sue applicazioni sono utili anche in molti altri contesti. Nella presente lezione, presenteremo l’enunciato del teorema e spiegheremo come si applicano le formule del teorema di Pitagora, incluso le sue formule inverse.
Cosa dice il teorema di Pitagora
Introduzione
Il teorema di Pitagora è uno dei concetti matematici più importanti e fondamentali, applicato in molti settori della vita, dalla scienza all’architettura. In questo articolo, esploreremo il significato del teorema di Pitagora e le sue formule.
L’enunciato del teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. In altre parole, se consideriamo un triangolo rettangolo ABC retto in A, dove l’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto e i cateti sono i lati adiacenti all’angolo retto, allora possiamo scrivere la seguente equazione:
i^2 = c_1^2 + c_2^2
dove i rappresenta la lunghezza dell’ipotenusa, c_1 e c_2 rappresentano le lunghezze dei due cateti.
Interpretazione geometrica del teorema di Pitagora
Possiamo interpretare il teorema di Pitagora geometricamente. Consideriamo il triangolo rettangolo ABC retto in A. Costruiamo su ciascun lato del triangolo un quadrato avente per base il lato considerato. L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa i è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti c1 e c2. In altre parole, possiamo scrivere:
Area_Q = Area_(Q_1) + Area_(Q_2)
dove Area_Q rappresenta l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa i, e Area_(Q_1) e Area_(Q_2) rappresentano le aree dei due quadrati costruiti sui cateti c1 e c2. Poiché l’area del quadrato si ottiene elevando al quadrato la misura del lato, possiamo scrivere:
i^2 = c_1^2 + c_2^2
Formule inverse del teorema di Pitagora
Le formule inverse del teorema di Pitagora permettono di esprimere le aree dei quadrati costruiti sui cateti in termini dell’area del quadrato costruito sull’ipotenusa e dell’altro cateto. In particolare, possiamo scrivere:
c_1^2 = i^2 – c_2^2
c_2^2 = i^2 – c_1^2
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Formule del teorema di Pitagora
Formule per il calcolo delle misure dei lati
Le formule del teorema di Pitagora possono essere utilizzate per calcolare la misura dei lati di un triangolo rettangolo conoscendone la lunghezza degli altri due lati. Estratto la radice quadrata dalle formule relative alle aree dei quadrati costruiti su ipotenusa e cateti, possiamo scrivere:
i = √(c_1^2+c_2^2) ; c_1 = √(i^2-c_2^2) ; c_2 = √(i^2-c_1^2)
Queste formule ci permettono di calcolare direttamente la misura del terzo lato di un triangolo rettangolo, se conosciamo la misura degli altri due.
Dimostrazione del teorema di Pitagora
Esistono numerose dimostrazioni del teorema di Pitagora. Riportiamo qui di seguito una delle dimostrazioni più semplici, che viene spesso proposta alle scuole superiori.
Disegniamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A e costruiamo su ciascun lato il relativo quadrato. Tracciamo poi l’altezza AK relativa all’ipotenusa (quella uscente dal vertice A) e prolunghiamola finché non incontra il lato del quadrato nel punto L.
Il quadrato BCDE relativo all’ipotenusa viene diviso nei due rettangoli R_1, R_2. Per come sono stati ottenuti:
- il rettangolo R_1 ha per base BK, che è la proiezione del cateto c_1 sull’ipotenusa, e come altezza BE, la cui misura coincide con l’ipotenusa i;
- il rettangolo R_2 ha come dimensioni KC, che è la proiezione del cateto c_2 sull’ipotenusa, e CD, la cui lunghezza uguaglia quella dell’ipotenusa i.
Per il primo teorema di Euclide (il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa) valgono le seguenti relazioni:
Area_(Q_1) = Area_(R_1) ; Area_(Q_2) = Area_(R_2)
Sommando membro a membro le due espressioni precedenti, otteniamo
Area_(Q_1)+Area_(Q_2) = Area_(R_1)+Area_(R_2)
La somma delle aree dei rettangoli è uguale all’area del quadrato BCDE, ossia all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa, e ciò dimostra il teorema di Pitagora.
Esempio di applicazione del teorema di Pitagora
Supponiamo di avere un triangolo rettangolo ABC retto in C, dove AB rappresenta l’ipotenusa e AC e BC sono i due cateti. Se conosciamo la lunghezza dell’ipotenusa e di uno dei due cateti, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare la misura del secondo cateto.
Dati del problema
Nel nostro esempio, conosciamo la lunghezza dell’ipotenusa AB e del cateto AC, rispettivamente 5 e 3 centimetri. Vogliamo calcolare la misura del cateto BC.
Svolgimento
Utilizzando la formula del teorema di Pitagora per il cateto BC, possiamo scrivere:
BC = √(AB^2-AC^2) = √((5 cm)^2-(3 cm)^2) = √(25 cm^2-9 cm^2) = √(16 cm^2) = 4 cm
In questo modo abbiamo calcolato la misura del cateto BC, che è pari a 4 centimetri.
Conclusione
Il teorema di Pitagora è una potente arma per risolvere i problemi che riguardano i triangoli rettangoli. Saper applicare correttamente le formule del teorema di Pitagora è fondamentale per calcolare la misura dei lati dei triangoli rettangoli in modo preciso e affidabile.
Inverso del teorema di Pitagora
Oltre al teorema di Pitagora, è molto utile anche conoscere il suo inverso, che ci permette di capire se un triangolo è rettangolo o meno, dati i valori dei suoi lati. L’enunciato dell’inverso del teorema di Pitagora è il seguente: se in un triangolo qualsiasi di lati a, b, c vale la relazione a^2+b^2 = c^2, allora il triangolo è rettangolo.
Esempio di applicazione del teorema di Pitagora inverso
Supponiamo di avere un triangolo ABC di cui conosciamo le misure dei lati: 3, 4, e 5 decimetri. Dobbiamo stabilire se il triangolo è rettangolo e, in caso affermativo, identificare l’ipotenusa.
Svolgimento
Calcoliamo il quadrato di ciascuno dei lati del triangolo:
AB^2 = 5^2 = 25 ; BC^2 = 3^2 = 9 ; AC^2 = 4^2 = 16
Notiamo che la somma dei quadrati dei cateti BC e AC è uguale al quadrato dell’ipotenusa AB:
25 = 9 + 16
Poiché questa relazione soddisfa l’inverso del teorema di Pitagora, possiamo concludere che il triangolo ABC è rettangolo. Inoltre, l’ipotenusa del triangolo è il lato di maggiore lunghezza, quindi AB è l’ipotenusa.
Curiosità
- Se un triangolo ha i lati la cui misura è tale da soddisfare il teorema di Pitagora, allora si dice che i lati del triangolo formano una terna pitagorica.
- Il teorema di Pitagora viene utilizzato spesso nei problemi sul triangolo isoscele; infatti, l’altezza relativa alla base divide il triangolo in due triangoli rettangoli.
Fonte: https://www.matematika.it/teorema-di-pitagora/
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