Il triangolo ha cinque punti notevoli che sono l’ortocentro, il baricentro, l’incentro, il circocentro e l’excentro. Ognuno di questi punti rappresenta il punto di intersezione di tre segmenti notevoli del triangolo, ovvero l’altezza, la mediana, la bisettrice, l’asse e la bisettrice interna ed esterna.
Dopo aver esaminato le definizioni e le proprietà di questi segmenti notevoli, possiamo passare a esaminare le proprietà e le caratteristiche dei cinque punti notevoli del triangolo. In questo modo, potremo approfondire la comprensione della geometria del triangolo.
Ortocentro di un triangolo
L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre altezze del triangolo. Questo punto è l’intersezione dei tre segmenti che partono dai vertici del triangolo e cadono perpendicolarmente sui lati opposti.
Per trovare l’ortocentro di un triangolo, disegnamo le tre altezze che corrispondono ai tre segmenti che partono dai vertici e che formano un angolo di 90 gradi sui lati opposti. Indipendentemente dal tipo di triangolo considerato, le tre altezze si incontrano sempre in un punto O, che è l’ortocentro del triangolo.
Proprietà dell’ortocentro
La posizione dell’ortocentro di un triangolo dipende dagli angoli del triangolo:
- Se l’ortocentro è un punto esterno al triangolo, allora il triangolo è ottusangolo.
- Viceversa, in un triangolo ottusangolo, l’ortocentro è un punto esterno.
- Un triangolo è acutangolo se e solo se l’ortocentro è un punto interno.
- In un triangolo rettangolo, l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.
Baricentro di un triangolo
Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle sue mediane, ossia il punto di intersezione tra i segmenti che partono dai vertici e cadono sul punto medio dei lati opposti.
Per trovare il baricentro di un triangolo ABC, tracciamo le mediane che corrispondono ai segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Le mediane si intersecano sempre in un punto G che è il baricentro del triangolo.
Baricentro, Ortocentro, Circocentro, Incentro, Excentro: i punti notevoli in un triangolo – YouTube
Proprietà del baricentro
Ecco alcune proprietà del baricentro di un triangolo:
- Il baricentro, detto anche punto di equilibrio, è un punto sempre interno al triangolo.
- Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella contenente il vertice è il doppio dell’altra. In altre parole, se G è il baricentro del triangolo ABC e M è il punto medio del lato BC, allora CG è il doppio di GM: CG = 2GM. Lo stesso vale per le altre mediane: BG = 2GL e AG = 2GN.
Incentro di un triangolo
L’incentro di un triangolo è il punto di intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni, ovvero dei segmenti che partono dai vertici e dividono a metà ciascun angolo interno relativo ai vertici.
Per trovare l’incentro di un triangolo, tracciamo le tre bisettrici degli angoli interni che dividono gli angoli in due parti uguali. Le bisettrici si incontrano sempre in un punto I, che è l’incentro del triangolo e coincide con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
Proprietà dell’incentro
Ecco alcune proprietà dell’incentro di un triangolo:
- L’incentro è sempre interno al triangolo.
- L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo, ovvero della circonferenza che tangenta i tre lati del triangolo.
- L’incentro divide ogni bisettrice in due parti che soddisfano una determinata proporzione: la parte contenente il vertice sta all’altra come ciascuno dei lati adiacenti al vertice sta alla rispettiva parte del lato opposto individuata dalla bisettrice. Ad esempio, se consideriamo la bisettrice CT, si ha CI:IT = AC:AT = BC:BT; se consideriamo la bisettrice AS, si ha AI:IS = AB:BS = AC:CS; se consideriamo la bisettrice BR, si ha BI:IR = AB:AR = BC:CR.
Circocentro di un triangolo
Il circocentro di un triangolo è il punto di intersezione degli assi dei lati, ovvero delle rette perpendicolari a ciascun lato e che lo tagliano in due parti di uguale lunghezza.
Per trovare il circocentro di un triangolo, tracciamo gli assi di simmetria dei suoi lati, ovvero le perpendicolari ai lati passanti per i loro punti medi. Gli assi si intersecano sempre in un punto che è il circocentro del triangolo, corrispondente al centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
Proprietà del circocentro
Ecco alcune proprietà del circocentro di un triangolo:
- Come suggerisce il nome, il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, ovvero della circonferenza che passa per i vertici del triangolo.
- In un triangolo acutangolo, il circocentro è un punto interno; nel triangolo rettangolo, coincide con il punto medio dell’ipotenusa; nel triangolo ottusangolo, è un punto esterno.
Excentro di un triangolo
L’excentro di un triangolo è il punto di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell’angolo interno ad essi non adiacente.
Per trovare l’excentro di un triangolo ABC, dobbiamo prolungare due suoi lati, ad esempio AC dalla parte di C e AB dalla parte di B; tracciare le bisettrici dei due angoli esterni individuati dai prolungamenti; tracciare la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi. Le due bisettrici esterne e la bisettrice interna si intersecano sempre in uno stesso punto, che è l’excentro del triangolo.
Proprietà dell’excentro
Un triangolo ha sempre tre excentri, che sono i centri delle circonferenze tangenti ai prolungamenti e al lato che essi racchiudono. Si parla di excentro relativo a un lato per indicare il lato di tangenza della circonferenza esterna, o di excentro opposto a un vertice per fare riferimento al lato opposto al vertice e tangente alla circonferenza esterna.
Relazione tra punti notevoli e segmenti notevoli del triangolo
Ecco una tabella riassuntiva dei punti notevoli del triangolo, con le relative definizioni e il corrispondente segmento notevole:
| Punto notevole | Definizione | Segmento notevole associato |
|---|---|---|
| Ortocentro | Punto di intersezione tra le altezze relative ai lati del triangolo. | Altezza |
| Baricentro | Punto di intersezione tra le mediane dei lati del triangolo. | Mediana |
| Incentro | Punto di intersezione tra le bisettrici degli angoli interni del triangolo (centro della circonferenza inscritta). | Bisettrice |
| Circocentro | Punto di intersezione tra gli assi dei lati del triangolo (centro della circonferenza circoscritta). | Asse |
| Excentri | Punto di intersezione tra due bisettrici esterne e l’altra bisettrice interna. | Bisettrici esterne e interna |
Fonte: Skuola.net
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