L’area della superficie di una sfera è data dalla formula S=4πr2, dove r rappresenta il raggio della sfera. Tale formula deriva dal moltiplicare il quadrato del raggio per 4π. Si noti che l’area della superficie della sfera è l’area della superficie che delimita la sfera.
Formula e esercizi di calcolo dell’area della sfera
Formula dell’area della sfera
Per calcolare l’area della superficie totale di una sfera, si utilizza la seguente formula:
S = 4 π r^2
dove S rappresenta l’area della sfera, r è il raggio e π è la costante matematica nota come Pi Greco.
È possibile lasciare la costante Pi Greco indicata con il suo simbolo (π) oppure sostituirla con il valore approssimato di 3,14.
Esempio di calcolo dell’area della sfera
Per calcolare l’area di una sfera conoscendo la misura del raggio, si applica la formula dell’area della sfera.
Esempio
Calcolare l’area di una sfera avente il raggio di 5 cm.
Svolgimento:
S = 4 π r^2 = 4 π×(5 cm)^2 = 4π×(25 cm^2) = 100π cm^2 ≃ (3,14×100) cm^2 ≃ 314 cm^2
Quindi, l’area della sfera con raggio 5 cm è di circa 314 cm².
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Calcolo dell’area della sfera attraverso il volume
Formula del volume della sfera
Il volume di una sfera si calcola mediante la seguente formula:
V = (4)/(3)π r^3
dove V rappresenta il volume della sfera e r è il raggio.
Calcolo del raggio attraverso il volume
È possibile ricavare la misura del raggio dalla formula del volume della sfera, invertendo la formula:
r = [3]√((3V)/(4 π))
dove V è il volume della sfera.
Calcolo dell’area della sfera
Una volta determinata la misura del raggio, è possibile calcolare l’area della sfera attraverso la seguente formula:
S = 4π r^2
Esempio di calcolo dell’area della sfera attraverso il volume
Esempio:
Il volume di una sfera è di 904,32 metri cubi. Calcolarne l’area.
Svolgimento:
Per prima cosa, determiniamo la misura del raggio invertendo la formula del volume:
r = [3]√((3V)/(4 π)) ≃ [3]√((3×904,32 m^3)/(4×3,14)) ≃ ; ≃ [3]√((2712,96 m^3)/(12,56)) = [3]√(216 m^3) ≃ 6 m
Quindi, il raggio della sfera è di 6 metri. Possiamo ora calcolare l’area:
S = 4 π r^2 = 4 π×(6 m)^2 = 4π×(36 m^2) = 144π m^2 ≃ (3,14×144) m^2 ≃ 452,16 m^2
Quindi, l’area della sfera con un volume di 904,32 metri cubi è di circa 452,16 metri quadrati.
Calcolo dell’area della sfera tramite l’area del semicerchio generatore
Il semicerchio generatore della sfera
Ogni sfera può essere ottenuta dalla rotazione di un semicerchio attorno al proprio diametro; questo semicerchio è detto semicerchio generatore e la misura del suo raggio coincide con quella del raggio della sfera.
Calcolo del raggio attraverso l’area del semicerchio generatore
Se A indica l’area del semicerchio generatore, allora la misura del raggio della sfera si può calcolare con la seguente formula:
r = √(2(A)/(π))
Calcolo dell’area della sfera tramite l’area del semicerchio generatore
Una volta determinata la misura del raggio, è possibile calcolare l’area della sfera attraverso la seguente formula:
S = 4π r^2
In alternativa, si può determinare l’area della sfera moltiplicando l’area del semicerchio generatore per 8:
S = 8A
Esempio di calcolo dell’area della sfera tramite l’area del semicerchio generatore
Esempio:
L’area del semicerchio generatore di una sfera è di 100,48 cm². Qual è l’area della sfera?
Svolgimento:
Per prima cosa, determiniamo la misura del raggio attraverso l’area del semicerchio generatore:
r = √((2A)/(π)) ≃ √((2×(100,48 cm^2))/(3,14)) ≃ √((200,96 cm^2)/(3,14)) ≃ √(64 cm^2) = 8 cm
Quindi, il raggio della sfera è di 8 cm. Possiamo ora calcolare l’area:
S = 4 π r^2 = 4 π×(8 cm)^2 = 4π×(64 cm^2) = 256π cm^2 ≃ (3,14×256) cm^2 ≃ 803,84 cm^2
Quindi, l’area della sfera con un’area del semicerchio generatore di 100,48 cm² è di circa 803,84 cm².
Calcolo dell’area della sfera tramite il perimetro del semicerchio generatore
Il semicerchio generatore della sfera
Ogni sfera può essere ottenuta dalla rotazione di un semicerchio attorno al proprio diametro; questo semicerchio è detto semicerchio generatore e la misura del suo raggio coincide con quella del raggio della sfera.
Calcolo del raggio attraverso il perimetro del semicerchio generatore
Dato che il raggio del semicerchio generatore è congruente al raggio della sfera, possiamo ricavare la misura del raggio della sfera dalla formula del perimetro del semicerchio generatore:
2p = π r+2r = r(π+2)
da cui possiamo determinare la misura del raggio:
r = (2p)/(π+2)
Calcolo dell’area della sfera tramite il raggio
Una volta determinata la misura del raggio, è possibile calcolare l’area della sfera attraverso la seguente formula:
S = 4π r^2
Esempio di calcolo dell’area della sfera tramite il perimetro del semicerchio generatore
Esempio:
Calcolare l’area di una sfera generata dalla rotazione di un semicerchio il cui perimetro è di 35,98 decimetri.
Svolgimento:
Per prima cosa, ricaviamo la misura del raggio dalla formula del perimetro del semicerchio generatore:
r = (2p)/(π+2) ≃ (35,98 dm)/(3,14+2) ≃ (35,98 dm)/(5,14) ≃ 7 dm
Quindi, il raggio della sfera è di 7 dm. Possiamo ora calcolare l’area:
S = 4 π r^2 = 4 π×(7 dm)^2 = 4π×(49 dm^2) = 196π dm^2 ≃ (3,14×196) dm^2 ≃ 615,44 dm^2
Quindi, l’area della sfera generata dalla rotazione di un semicerchio il cui perimetro è di 35,98 decimetri è di circa 615,44 decimetri quadrati.
Fonte: youmath.it
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