Il coefficiente angolare di una retta è un valore numerico che indica la pendenza della retta rispetto all’asse x o qualsiasi retta orizzontale. Questo valore viene indicato con la lettera “m” e compare direttamente nell’equazione esplicita y=mx+q. Per calcolare il coefficiente angolare di una retta, esistono formule specifiche a seconda dell’equazione della retta considerata.
Prima di comprendere il legame tra il coefficiente angolare e l’angolo formato dalla retta con l’asse x, è importante conoscere queste formule. In ogni caso, il coefficiente angolare risulta fondamentale per determinare la pendenza di una retta e la sua inclinazione rispetto all’asse x.
Cos’è il coefficiente angolare e come si calcola
Il coefficiente angolare è un parametro che descrive l’inclinazione di una retta rispetto all’asse delle ascisse. Esso rappresenta il rapporto tra la variazione di ordinata (la distanza lungo l’asse delle y) e la variazione di ascissa (la distanza lungo l’asse delle x) che si ha percorrendo la retta. Il coefficiente angolare si calcola in modo diverso a seconda della forma dell’equazione della retta.
Retta in forma implicita
Se la retta è espressa in forma implicita, cioè nella forma ax+by+c = 0, il coefficiente angolare m si calcola come:
m = -(a)/(b) se b ≠ 0 (retta non verticale)
Se la retta è verticale, ovvero parallela all’asse y, il coefficiente angolare non è definito. In questo caso, alle scuole superiori si usa dire che il coefficiente angolare di una retta verticale è infinito e si scrive m = +∞ (con abuso di notazione).
Retta in forma esplicita
Se la retta è espressa in forma esplicita, cioè nella forma y = mx+q, il coefficiente angolare è già presente nell’equazione. Esso è proprio il coefficiente m associato all’incognita x.
Coefficiente angolare [m] – YouTube
Definizione di coefficiente angolare
Il coefficiente angolare di una retta è una misura della sua pendenza rispetto all’asse delle ascisse. Esso rappresenta il rapporto tra la variazione di ordinata (la distanza lungo l’asse delle y) e la variazione di ascissa (la distanza lungo l’asse delle x) che si ha percorrendo la retta.
Calcolo del coefficiente angolare
Il coefficiente angolare può essere calcolato mediante la formula:
m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1) per ogni x_2 ≠ x_1, P_1,P_2∈ r
Dove P_1 e P_2 sono due punti appartenenti alla retta, con x_2 > x_1.
È importante notare che il coefficiente angolare non è definito per le rette verticali, per le quali x_1 = x_2.
Dimostrazione della costanza del rapporto
Il rapporto (y_2-y_1)/(x_2-x_1) è costante per ogni coppia di punti appartenenti alla retta. Ciò significa che la pendenza della retta è la stessa indipendentemente dai due punti che si scelgono per calcolarla.
La dimostrazione di questa proprietà si basa sull’utilizzo dei teoremi degli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale e sul criterio di similitudine per triangoli con angoli rispettivamente congruenti.
Coefficiente angolare e pendenza della retta: angolo di inclinazione
Il coefficiente angolare di una retta può essere definito come la tangente dell’angolo α formato dalla retta rispetto all’asse delle ascisse o a qualsiasi retta orizzontale. La formula che ne deriva è:
m = tan(α) per -90^o < α < 90^o
Si noti che il coefficiente angolare è nullo per le rette orizzontali e non è definito per le rette verticali. Inoltre, il coefficiente angolare è positivo se la retta taglia l’orizzontale con ordinate crescenti e negativo se la retta taglia l’orizzontale con ordinate decrescenti.
Calcolo dell’angolo di inclinazione
L’angolo di inclinazione α può essere calcolato a partire dal coefficiente angolare m utilizzando la funzione arcotangente:
α = arctan(m) retta non verticale ; 90^o retta verticale
Nel caso di una retta parallela all’asse delle ascisse, l’angolo di inclinazione è pari a 0, mentre per qualsiasi altra retta che non sia né verticale né orizzontale, l’angolo acuto formato con l’asse delle ascisse può essere calcolato utilizzando questa formula.
Esempi sul coefficiente angolare
Di seguito sono riportati alcuni esempi relativi al coefficiente angolare di alcune rette:
- La bisettrice del primo-terzo quadrante y = x ha coefficiente angolare m = 1 e forma un angolo di inclinazione α = 45^o con l’asse delle ascisse.
- La bisettrice del secondo-quarto quadrante y = -x ha coefficiente angolare m = -1 e forma un angolo di inclinazione α = -45^o con l’asse delle ascisse. L’angolo che la retta forma nel semipiano delle ordinate positive è 135^o.
- La retta y = -4 ha coefficiente angolare nullo.
- La retta 2x+y+1 = 0 ha coefficiente angolare m = -2 e forma un angolo non notevole con l’asse delle ascisse, misurato in senso orario.
Coefficiente angolare di una retta passante per due punti
Il coefficiente angolare di una retta passante per due punti può essere calcolato utilizzando la formula:
m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1) se x_2 ≠ x_1
Se x_1 = x_2, la retta è verticale e il coefficiente angolare non è definito. L’equazione della retta in questo caso è x = x_1.
Fonte: youmath.it
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