Il dominio di una funzione rappresenta l’insieme dei valori di input che possono essere utilizzati nella funzione stessa. In altre parole, si tratta dell’insieme dei numeri che possono essere sostituiti nella variabile indipendente dell’equazione matematica. D’altro canto, il codominio o rango della funzione, rappresenta l’insieme di tutti i possibili valori di output che possono essere prodotti dalla funzione, ovvero l’insieme dei numeri che possono essere ottenuti come risultato dell’equazione.
Per determinare il dominio di una funzione, è importante tenere in considerazione alcune regole e limitazioni che potrebbero essere presenti. Ad esempio, potrebbe essere necessario escludere determinati numeri che porterebbero a una divisione per zero o ad una radice quadrata di un numero negativo. Inoltre, è importante considerare le restrizioni imposte dal contesto, come ad esempio il dominio di una funzione che rappresenta un’area di una figura geometrica, il quale non può assumere valori negativi.
Per trovare il dominio di una funzione, quindi, è necessario analizzare attentamente l’equazione e individuare eventuali restrizioni o limitazioni. Una volta individuate, queste limitazioni dovranno essere escluse dal dominio della funzione, ottenendo così l’insieme di tutti i valori di input ammissibili. Seguendo questi semplici passaggi, sarà possibile determinare il dominio di una funzione in modo preciso e accurato.
Imparare le Basi
Definizione di Dominio
Il dominio rappresenta l’insieme dei valori in entrata per i quali una funzione produce un valore in uscita. In altre parole, il dominio rappresenta l’insieme dei valori di X che possono essere inseriti in una funzione per produrre un valore di Y.
Come trovare il dominio di diverse funzioni
Il tipo di funzione determina il metodo migliore per trovare il dominio. Ecco le basi che devi conoscere su ogni tipo di funzione:
Funzione polinomiale senza radicali o variabili al denominatore
Per questo tipo di funzione, il dominio è costituito da tutti i numeri reali.
Dominio di una Funzione : cos’è e come trovarlo – YouTube
Funzione polinomiale con variabili al denominatore
Per trovare il dominio di una tale funzione, devi escludere i valori della X che rendono il denominatore uguale a zero.
Funzione con incognita nel radicale
Per trovare il dominio di una funzione del genere, bisogna prendere l’espressione contenuta all’interno della radice, porla maggiore di zero e risolvere la disequazione.
Funzione con logaritmo naturale log (ln)
Bisogna porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero e risolvere.
Grafico
Bisogna cercare per quali X interseca l’asse orizzontale.
Relazione
È la lista delle coordinate X e Y. Il dominio sarà semplicemente l’elenco di tutte le X.
Scrivi il dominio in modo corretto
Imparare la notazione corretta per il dominio è facile, ma è importante scriverla correttamente per dare la risposta giusta e ottenere il massimo in un compito in classe o ad un esame. Ecco alcune cose che devi conoscere per riuscire a scrivere il dominio di una funzione:
- Il formato per indicare il dominio è una parentesi aperta, seguita dai due estremi del dominio separati da una virgola, seguiti da una parentesi chiusa.
- Usa parentesi quadre, come [ e ] per indicare che il numero è incluso nel dominio.
- Usa “(” e “)” per indicare che un numero non è incluso nel dominio.
- Usa “U” (“unione”) per connettere parti del dominio che sono separate da un intervallo.
- Puoi usare tutte le “U” che ti servono, nel caso di un dominio con più di un intervallo.
- Usa i simboli di infinito positivo o infinito negativo per indicare che il dominio va all’infinito in una delle due direzioni.
- Con i simboli di infinito,usa sempre le parentesi tonde “( )”, non le parentesi quadre “[ ]”.
Ecco alcuni esempi:
- [-1,5) indica che il dominio va da -1 incluso a 5 escluso.
- [-1,5] indica che il dominio va da -1 incluso a 5 incluso.
- (-1,5) indica che il dominio va da -1 escluso a 5 escluso.
- [1, +∞) indica che il dominio va da 1 incluso all’infinito positivo.
- (-∞, -3) U (-3, 5) U (5, +∞) indica che il dominio è costituito da tre intervalli separati.
Ricorda che il dominio rappresenta l’insieme di tutti i valori di X che possono essere inseriti in una funzione. Una volta trovato il dominio, è importante scrivere la notazione corretta per dare la risposta giusta.
Trovare il Dominio di una Funzione Fratta
Scrivi il problema
Supponiamo di avere la funzione fratta:
f(x) = 2x/(x2 – 4)
Uguaglia il denominatore a zero
Nel caso di una funzione fratta, per trovare il dominio con incognita al denominatore, devi escludere i valori della x che rendono il denominatore uguale a zero, perché non è possibile dividere per zero. Quindi, scrivi il denominatore come un’equazione uguale a zero. Ecco come fare:
f(x) = 2x/(x2 – 4)
x2 – 4 = 0
(x – 2 )(x + 2) = 0
Leggi il dominio
Il dominio della funzione è dato dai valori della x che non rendono il denominatore uguale a zero. Quindi, il dominio è:
x = tutti i numeri reali tranne 2 e -2
Trovare il Dominio di una Funzione Sotto Radice Quadrata
Scrivi il problema
Supponiamo di avere la seguente funzione con radice quadrata:
Y =√(x-7)
Scrittura della disuguaglianza
Nelle radici quadrate, il radicando (l’espressione sotto il simbolo della radice) deve essere uguale o maggiore di 0. Quindi, scrivi la disuguaglianza in modo che il radicando sia maggiore o uguale a 0. Questo vale per tutte le radici con esponente pari. Non vale per le radici con esponente dispari, perché è possibile avere dei numeri negativi sotto le radici dispari. Ecco come fare:
x – 7 ≧ 0
Isola la variabile
Per portare la x nella parte sinistra dell’equazione, aggiungi 7 da entrambi i lati, in modo da ottenere:
x ≧ 7
Scrivi correttamente il dominio
Il dominio della funzione è dato dai valori della x che soddisfano la disuguaglianza x≧7. Quindi, il dominio è:
D = [7,∞)
Trovare il Dominio di una Funzione con Radice Quadrata con Soluzioni Multiple
Supponiamo di avere la seguente funzione con radice quadrata:
Y = 1/√(x2 -4)
Uguaglia il denominatore a zero e verifica gli intervalli
Scomponi il denominatore e uguaglialo a zero. Nel caso di questa funzione, otteniamo x ≠ (2, -2). Dopo aver escluso questi valori, controlla gli intervalli e verifica se un numero posto nel denominatore dà un numero maggiore di zero o minore di zero.
Per un numero minore di -2, ad esempio -3, il valore del denominatore è positivo (5>0).
Per un numero compreso tra -2 e 2, ad esempio 0, il valore del denominatore è negativo (-4<0). Per un numero maggiore di 2, ad esempio 3, il valore del denominatore è positivo (5>0).
Scrivi correttamente il dominio
Il dominio della funzione è dato dai valori della x che soddisfano la disuguaglianza, che nel nostro caso sono tutti i numeri reali eccetto 2 e -2, ovvero:
D = (-∞, -2) U (2, ∞)
Trovare il Dominio di una Funzione con un Logaritmo Naturale
Scrivi il problema
Supponiamo di avere la funzione con un logaritmo naturale:
f(x) = ln(x-8)
Poni l’espressione in parentesi maggiore di zero
Il logaritmo naturale deve essere un numero positivo, quindi poniamo l’espressione dentro la parentesi maggiore di zero. Ecco come fare:
x – 8 > 0
Risolvi l’equazione
Isola la variabile x aggiungendo otto da entrambe le parti dell’equazione. Otteniamo:
x > 8
Scrivi il dominio
Il dominio di questa funzione è composto da tutti i numeri maggiori di 8 fino all’infinito, ovvero:
D = (8,∞)
Trovare il Dominio di una Funzione Usando un Grafico
Dai un’occhiata al grafico
Controlla il grafico della funzione per capire il dominio.
Controlla i valori di X inclusi nel grafico
Se il grafico è costituito da una retta che si estende all’infinito, il dominio include tutti i numeri reali. Se vedi una parabola rivolta verso l’alto o verso il basso, il dominio sarà composto da tutti i numeri reali. Se hai una parabola con il vertice in (4,0) che si estende all’infinito verso destra, il dominio sarà D = [4,∞).
Scrivi il dominio
Il dominio dipende dal tipo di grafico su cui si sta lavorando. Se sei incerto, inserisci le coordinate x all’interno della funzione per verificare il dominio.
Trovare il Dominio di una Funzione con una Relazione
Scrivi la relazione
Supponiamo di lavorare con la seguente relazione: {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}.
Scrivi le coordinate x
Le coordinate x sono: 1, 2, 5.
Scrivi il dominio
Il dominio è dato dai valori delle coordinate x, ovvero:
D = {1, 2, 5}
Verifica che la relazione sia una funzione
Per verificare se una relazione è una funzione, controlla se ogni valore di x produce sempre lo stesso valore di y. Se due o più valori di y sono associati allo stesso valore di x, allora la relazione non è una funzione. Ad esempio, la seguente relazione non è una funzione: {(1, 4),(3, 5),(1, 5)}.
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