Nell’ambito della classificazione delle funzioni, un criterio importante è la loro simmetria. Le funzioni possono essere classificate come “pari”, “dispari” o senza simmetria. La simmetria si riferisce alla ciclicità della funzione e può essere determinata manipolando la funzione algebricamente o visualizzando il suo grafico. Classificare le funzioni può aiutare a prevedere l’aspetto di combinazioni di funzioni.
In sintesi, la simmetria è un criterio importante per classificare le funzioni e può essere determinata in diversi modi. Una volta che si è padrone di questa classificazione, sarà possibile fare previsioni sulle caratteristiche di funzioni combinate.
Ripasso delle variabili opposte
Concetto base
In algebra, l’opposto di una variabile viene indicato con un segno negativo. Questa regola vale indipendentemente dal fatto che la funzione contenga una o qualsiasi altra variabile. Se la variabile è già negativa (o se c’è una sottrazione), il suo opposto sarà una variabile positiva (o un’addizione).
Esempi
Di seguito alcuni esempi di variabili e dei rispettivi opposti:
- L’opposto di a è -a
- L’opposto di b è -b
- L’opposto di c è -c
Procedura per determinare se una funzione è pari o dispari
Sostituire ogni variabile con il suo opposto
Per semplificare la funzione e confrontare f(-x) con f(x), sostituisci ogni variabile presente nella funzione con il suo opposto.
Simmetrie e Periodicità : Funzioni Pari – Funzioni Dispari – Funzioni Periodiche – YouTube
Semplificare la nuova funzione
Semplifica la nuova funzione. Non è necessario risolverla per un determinato valore, basta semplificarla per poterla confrontare con la versione originale. Ricorda le regole elementari delle potenze, secondo cui una base negativa elevata a un esponente pari genera un numero positivo, mentre una base negativa elevata a un esponente dispari genera un numero negativo.
Confrontare le due funzioni
Per ogni esempio, confronta la versione semplificata di f(-x) con la rispettiva f(x). Allinea i termini fra loro per facilitare il processo e valutane il segno.
Identificare se la funzione è pari o dispari
Se le due versioni sono identiche, allora f(x)=f(-x) e la funzione originale è pari. Se ogni termine della nuova versione della funzione è opposto al rispettivo termine della versione originale, allora f(x)=-f(-x) e la funzione è dispari. Se la nuova funzione non rientra in nessuno dei due casi, allora non è né pari né dispari.
Tracciare il grafico della funzione
Assegnare valori a x e calcolare i rispettivi valori di y
Per tracciare il grafico della funzione, assegna diversi valori a x, inseriscili nell’equazione e calcola i rispettivi valori di y. Riporta le coppie sul grafico e, dopo aver individuato diversi punti, collegali per disegnare il grafico.
Controllare i valori positivi e negativi di y
Quando determini i punti, controlla i valori positivi e quelli negativi corrispondenti di y. Per esempio, se stai considerando la funzione y = x^2, usa questi dati:
- Per x=1, y = 1^2 = 1, di conseguenza le coordinate sono (1,1)
- Per x=-1, y = (-1)^2 = 1, il punto grafico è definito dalla coppia (-1,1)
- Per x=2, y = 2^2 = 4, il punto corrisponde a (2,4)
- Per x=-2, y = (-2)^2 = 4, ottieni le coordinate (-2,4)
Verificare la simmetria del grafico rispetto all’asse delle ordinate
Quando osservi la versione grafica di una funzione, puoi notare che una metà “rispecchia” l’altra; in altre parole è simmetrica. Se noti che la parte a destra dell’asse delle y (positiva) coincide con quella a sinistra (negativa), la funzione è pari.
Testare la simmetria
Puoi testare la simmetria scegliendo singolarmente dei punti. Se il valore di y per un determinato valore di x è identico a quello generato da -x, la funzione è pari. I punti selezionati in precedenza per tracciare il grafico di y = x^2 hanno portato ai seguenti risultati:
- Per x=1, y=1 e per x=-1, y=1, di conseguenza la funzione è pari in (1,1) e (-1,1)
- Per x=2, y=4 e per x=-2, y=4, la funzione è pari in (2,4) e (-2,4)
I valori immutati di y per x=1, x=-1 e per x=2, x=-2 segnalano che la funzione è pari. Per una prova inconfutabile, due coppie di dati non sono sufficienti, ma rappresentano una buona indicazione di massima.
Controllare la simmetria rispetto all’origine
Definizione
Il punto centrale (0,0) in cui si intersecano gli assi del sistema è chiamato origine. Quando si parla di simmetria rispetto all’origine, significa che per ciascun valore positivo di x si ottiene un y positivo e che per ciascun valore -x si ottiene un y negativo e viceversa; le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine.
Testare la simmetria
Se scegli una serie di dati per x e i relativi opposti (-x), dovresti ottenere risultati opposti di y. Considera la funzione f(x) = 2x^3. Questa genera la seguente serie di punti:
- Per x=1, y=2 e per x=-1, y=-2, il punto ha coordinate (1,2) e la coppia di dati è (-1,-2)
- Per x=2, y=16 e per x=-2, y=-16, ottieni le coordinate (2,10) e (-2,-10)
Di conseguenza, puoi affermare che f(x)=-f(-x) e puoi concludere che sia dispari.
Cercare l’assenza della simmetria
Definizione
Se non c’è simmetria rispetto all’asse delle ordinate o rispetto all’origine, allora la funzione non è pari né dispari.
Esempio
Considera la funzione g(x) = x^2 – 3. Seleziona alcuni valori per x e -x come segue:
- Per x=1, y= -2 e per x=-1, y=-2, il punto è definito dalle coordinate (1,4) e la coppia di valori è (-1,-2)
- Per x=2, y= 1 e per x=-2, y=1, le coordinate sono (2,10) e il punto corrisponde a (2,-2)
A questo punto, hai abbastanza coppie di dati per affermare che non vi è alcuna simmetria. I valori di y per le coppie opposte di x non sono identici né opposti; la funzione non è né pari né dispari.
Considerazioni aggiuntive
La forma tra parentesi dell’equazione non è sufficiente per determinare se la funzione è pari o dispari. Devi espanderla nei termini individuali ed esaminare ogni esponente. Se tutte le variabili che compaiono nella funzione hanno esponenti pari, la funzione stessa è pari; se tutti gli esponenti sono dispari, lo è anche la funzione in generale.
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