La parabola è una figura geometrica non degenere che rappresenta il luogo geometrico dei punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso, noto come fuoco, e una retta nota come direttrice. Se l’asse di simmetria della parabola è verticale, la sua equazione può essere rappresentata da y=ax2+bx+c, mentre se l’asse è orizzontale, l’equazione diventa x=ay2+by+c.
In questo contesto, presentiamo le formule principali per la parabola nel piano cartesiano, distinguendo tra le parabole ad asse di simmetria verticale e orizzontale e riportando le definizioni e le formule per il calcolo del vertice, dell’asse, del fuoco e della direttrice. Il presente formulario si concentra sulle definizioni e le formule utili per la risoluzione dei problemi e degli esercizi di Geometria Analitica, senza appesantirlo troppo. Saranno forniti alcuni approfondimenti utili, come la dimostrazione dell’equazione della parabola e lo studio del segmento parabolico durante la spiegazione.
La Definizione di Parabola: Elementi Caratteristici
Definizione di Parabola
La parabola è un luogo geometrico di punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta chiamata direttrice. In termini algebrici, se P è un punto generico sulla parabola, allora la sua distanza dalla direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco:
dist(P,d) = PF
Rappresentazione Grafica
La direttrice regola la disposizione che una parabola può assumere nel piano cartesiano. A seconda che la direttrice sia orizzontale o verticale, la parabola avrà un asse di simmetria verticale o orizzontale. L’asse di simmetria è la retta che divide la parabola in due parti uguali, mentre il vertice è il punto di intersezione tra la parabola e l’asse di simmetria.
Elementi Caratteristici
I quattro elementi caratteristici di una parabola sono:
- asse di simmetria della parabola: la retta che divide la parabola in due parti uguali
- vertice della parabola: il punto di intersezione tra la parabola e l’asse di simmetria
- fuoco della parabola: il punto che ha la stessa distanza rispetto alla direttrice di ogni punto sulla parabola
- direttrice della parabola: la retta che ha la stessa distanza rispetto al fuoco di ogni punto sulla parabola
È importante sottolineare che alle scuole superiori si studiano esclusivamente le parabole con direttrice orizzontale e verticale. Lo studio di qualsiasi altro tipo di parabola avviene solamente all’università nei corsi di Algebra Lineare. Per maggiori informazioni sulla classificazione delle coniche si può approfondire nella lezione sulla classificazione delle coniche.
Finding The Focus and Directrix of a Parabola – Conic Sections – YouTube
Formule della Parabola
Parabola ad Asse di Simmetria Verticale
L’equazione di una parabola ad asse di simmetria verticale è data da:
y = ax^2 + bx + c (con a ≠ 0)
Si tratta di un’equazione quadratica in cui non compare il termine y^2, ed è espressa in forma esplicita (y = …). I coefficienti a, b e c sono numerici, mentre x e y sono le incognite. Un punto P = (x,y) appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinate cartesiane x,y ne soddisfano l’equazione. L’aspetto più importante dell’equazione della parabola è il segno del coefficiente a, che indica il verso in cui la parabola volge la propria concavità.
Parabola Rivolta Verso L’Alto
Se a > 0, allora la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto.
Parabola Rivolta Verso il Basso
Se a < 0, allora la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.
Parabola con A = 1, B = 0, C = 0
Nel caso particolare in cui a = 1, b = 0, c = 0, si ottiene la parabola rivolta verso l’alto, con asse di simmetria sull’asse delle ordinate e vertice nell’origine degli assi cartesiani:
y = x^2
Coordinate del Vertice, del Fuoco, dell’Asse e della Direttrice
Per calcolare le coordinate del vertice, del fuoco, dell’asse e della direttrice della parabola, si utilizza il Delta della parabola:
Δ = b^2 – 4ac
che è il discriminante dell’equazione di secondo grado associata all’equazione della parabola: ax^2 + bx + c = 0.
Coordinate del Vertice
Le coordinate del vertice della parabola sono:
V = (-(b)/(2a),-(Δ)/(4a))
Coordinate del Fuoco
Le coordinate del fuoco della parabola sono:
F = (-(b)/(2a),(1-Δ)/(4a))
Equazioni dell’Asse e della Direttrice
Le equazioni dell’asse e della direttrice della parabola sono:
Asse: x = x_V = -(b)/(2a)
Direttrice: y = -(1+Δ)/(4a)
Equazione della Parabola con Asse di Simmetria Orizzontale
Nel caso della parabola ad asse di simmetria orizzontale, l’equazione della parabola è simile a quella del caso verticale, ma scritta in modo diverso:
x = ay^2 + by + c (con a ≠ 0)
Anche qui, per avere una parabola e non una retta, è necessario che a ≠ 0. Il segno del coefficiente a determina l’orientamento della parabola e della sua concavità.
Parabola Rivolta Verso Destra
Se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso destra.
Parabola Rivolta Verso Sinistra
Se a < 0, la parabola ha la concavità rivolta verso sinistra.
Parabola con A = 1, B = 0, C = 0
Nel caso particolare in cui a = 1, b = 0, c = 0, si ottiene la parabola con asse sull’asse delle ascisse, vertice nell’origine degli assi cartesiani e concavità rivolta verso destra:
x = y^2
Coordinate del Vertice, del Fuoco, dell’Asse e della Direttrice
Per calcolare le coordinate del vertice, del fuoco, dell’asse e della direttrice della parabola, si utilizza il Delta della parabola:
Δ = b^2 – 4ac
che è il discriminante dell’equazione di secondo grado associata all’equazione della parabola: x = ay^2 + by + c.
Coordinate del Vertice
Le coordinate del vertice della parabola sono:
V = (-(Δ)/(4a),-(b)/(2a))
Coordinate del Fuoco
Le coordinate del fuoco della parabola sono:
F = ((1-Δ)/(4a),-(b)/(2a))
Equazioni dell’Asse e della Direttrice
Le equazioni dell’asse e della direttrice della parabola sono:
Asse: y = y_V = -(b)/(2a)
Direttrice: x = -(1+Δ)/(4a)
Esempi sulla Parabola
Per comprendere meglio la definizione e le formule della parabola, è utile esaminare degli esempi pratici. Di seguito, vi invitiamo a consultare alcune pagine utili:
Equazione della Parabola: Verticale o Orizzontale?
In questa pagina, potete trovare degli esempi pratici per capire se un’equazione di una parabola ha un asse di simmetria verticale o orizzontale.
Come Calcolare le Coordinate del Vertice di una Parabola
In questa pagina, potete trovare degli esempi pratici per calcolare le coordinate del vertice di una parabola, che è uno dei suoi elementi caratteristici.
Come Trovare le Coordinate del Fuoco di una Parabola
In questa pagina, potete trovare degli esempi pratici per calcolare le coordinate del fuoco di una parabola, un altro dei suoi elementi caratteristici.
Ricavare l’Equazione della Direttrice di una Parabola
In questa pagina, potete trovare degli esempi pratici per calcolare l’equazione della direttrice di una parabola, un altro dei suoi elementi caratteristici.
Come Disegnare una Parabola
Per disegnare una parabola nel piano cartesiano, è necessario seguire alcuni passaggi. Di seguito, riportiamo una sintesi del procedimento:
- Leggere l’equazione e capire se la parabola ha un asse di simmetria verticale o orizzontale, e il verso della concavità;
- Calcolare le coordinate del vertice;
- Disegnare l’asse di simmetria partendo dalle coordinate del vertice;
- Calcolare le coordinate di due punti distinti e opposti rispetto all’asse di simmetria;
- Disegnare la parabola congiungendo i punti con il vertice e prolungandola indefinitamente.
Il procedimento si basa sul teorema della Geometria per cui per tre punti distinti passa una ed una sola parabola. Per ulteriori dettagli e un esempio pratico, vi invitiamo a consultare la seguente pagina: Come Disegnare una Parabola.
Fonte: youmath.it
Possibili posizioni di una retta rispetto ad una parabola
Quando ci si trova di fronte a un esercizio che richiede di studiare le possibili posizioni di una retta rispetto ad una parabola, è utile sapere che esistono tre diverse situazioni: la retta può intersecare la parabola in due punti distinti, in un solo punto oppure non intersecare la parabola affatto.
Equazione della retta tangente alla parabola in un punto
Per calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto, si può utilizzare la formula di sdoppiamento. Questa formula dipende dal fatto che la parabola sia ad asse di simmetria verticale (y = ax^2+bx+c) o orizzontale (x = ay^2+by+c).
Se il punto in cui si vuole determinare la tangente è P = (x_P,y_P), allora l’equazione della tangente alla parabola ad asse di simmetria verticale sarà (y+y_P)/(2) = ax_Px+b·(x+x_P)/(2)+c. Se invece la parabola ha asse di simmetria orizzontale, l’equazione della tangente sarà (x+x_P)/(2) = ay_Py+b·(y+y_P)/(2)+c.
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