In questa lezione, forniremo una panoramica di tre importanti proprietà delle funzioni, ovvero l’iniettività, la suriettività e la biettività. Definiremo ciascuna di queste proprietà per funzioni che vanno da un insieme qualsiasi ad un altro. Non ci limiteremo alle funzioni reali di variabile reale, ma considereremo qualsiasi coppia di insiemi.
Nelle prossime lezioni, ci concentreremo sullo studio di queste proprietà in dettaglio, con particolare attenzione alle funzioni reali di variabile reale e ai metodi pratici per analizzarle. Tuttavia, è importante sottolineare che lo studio approfondito delle definizioni è essenziale, specialmente per le funzioni iniettive e suriettive, e può rappresentare una sfida per gli studenti meno esperti.
Funzione suriettiva
In matematica, una funzione è suriettiva se ogni elemento del secondo insieme è raggiunto da almeno una freccia che parte dal primo insieme. Formalmente, una funzione f è suriettiva se l’immagine della funzione f coincide con il codominio B. In altre parole, per ogni elemento b del codominio B esiste almeno un elemento a del dominio A tale che b è l’immagine di a mediante f, ossia b = f(a).
Definizione formale
Una funzione f è suriettiva se e solo se:
- Per ogni elemento b del codominio B, esiste almeno un elemento a del dominio A tale che b è l’immagine di a mediante f, ossia b = f(a).
- L’immagine della funzione coincide con il codominio, ossia Im(f) = B.
Esempio
Consideriamo la funzione f definita da f(x) = x^2. Il dominio di f è l’insieme dei numeri reali, mentre il codominio è l’insieme dei numeri non negativi. Questa funzione non è suriettiva, in quanto non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia negativo. Pertanto, l’immagine di f non coincide con il codominio.
Funzione iniettiva
In matematica, una funzione è iniettiva se ogni elemento del dominio (l’insieme su cui la funzione è definita, nel nostro caso A) ha una e una sola immagine nel codominio B. Formalmente, una funzione f è iniettiva se per ogni coppia di elementi distinti a_1 e a_2 del dominio A, si ha che f(a_1) ≠ f(a_2).
Funzioni Iniettive, Suriettive e Biiettive – YouTube
Definizione formale
Una funzione f è iniettiva se e solo se:
- Per ogni coppia di elementi distinti a_1 e a_2 del dominio A, si ha che f(a_1) ≠ f(a_2).
- Ogni immagine della funzione ha al massimo una preimmagine, ossia per ogni elemento b del codominio B, esiste al più un elemento a del dominio A tale che f(a) = b.
Esempio
Consideriamo la funzione f definita da f(x) = 2x. Questa funzione è iniettiva, in quanto per ogni coppia di elementi distinti a_1 e a_2 del dominio A, si ha che f(a_1) ≠ f(a_2). Ad esempio, f(1) = 2 e f(2) = 4, quindi la funzione non associa lo stesso valore a due elementi diversi del dominio.
Come stabilire se una funzione è iniettiva?
Per stabilire se una funzione è iniettiva, possiamo utilizzare il seguente metodo:
- Supponiamo che f(a_1) = f(a_2) per alcuni a_1 e a_2 distinti del dominio A.
- Da questa ipotesi, deduciamo una contraddizione, ad esempio mostrando che a_1 = a_2.
- Concludiamo che la funzione non è iniettiva.
Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_iniettiva
Funzione biunivoca (funzione biettiva)
In matematica, una funzione è biunivoca (o biettiva) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, ovvero ogni elemento del dominio è associato ad un unico elemento del codominio e ogni elemento del codominio è raggiunto da almeno una freccia che parte dal dominio. Una funzione biunivoca stabilisce quindi una corrispondenza 1 a 1 tra il dominio e il codominio.
Definizione formale
Una funzione f è biunivoca se e solo se:
- Per ogni coppia di elementi distinti a_1 e a_2 del dominio A, si ha che f(a_1) ≠ f(a_2).
- Ogni elemento b del codominio B ha esattamente una preimmagine, ossia esiste un unico elemento a del dominio A tale che f(a) = b.
Esempio
Consideriamo la funzione f definita da f(x) = 3x + 1. Questa funzione è biunivoca, in quanto per ogni coppia di elementi distinti a_1 e a_2 del dominio A, si ha che f(a_1) ≠ f(a_2) e ogni elemento del codominio B ha esattamente una preimmagine nel dominio A. Pertanto, la funzione stabilisce una corrispondenza 1 a 1 tra il dominio e il codominio.
Funzione inversa
La proprietà di biunivocità è particolarmente importante in matematica perché garantisce l’esistenza e l’unicità della funzione inversa. Data una funzione biunivoca f, la sua funzione inversa f^(-1) è una funzione tale che f^(-1)(b) = a se e solo se f(a) = b.
Invertibilità
Una funzione biunivoca è invertibile, ovvero è possibile invertire il verso delle frecce per ottenere la sua funzione inversa f^(-1), che è a tutti gli effetti una funzione. L’invertibilità di una funzione è importante in matematica per risolvere equazioni e sistemi di equazioni.
Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_biunivoca
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