ELLISSE

L’ellisse è una figura geometrica composta da tutti i punti del piano i cui valori di distanza rispetto a due punti fissi noti come fuochi, sono costanti. Questo tipo di figura si definisce come una conica non degenere. Nel presente articolo, forniremo tutte le formule essenziali dell’ellisse nel piano cartesiano. Partendo dalla definizione, ci concentreremo sulla descrizione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi.

Saranno presentate le definizioni e le formule necessarie per il calcolo dei suoi elementi caratteristici, come il centro, gli assi, i fuochi, i vertici e l’eccentricità. Successivamente, illustreremo come estendere l’equazione dell’ellisse al caso di un’ellisse traslata, cioè con il centro in un punto arbitrario, e forniremo altre formule utili per risolvere gli esercizi di Geometria Analitica.

Definizione di Ellisse

L’ellisse è un luogo geometrico di punti del piano, definito come la somma costante delle distanze da due punti fissi detti fuochi. In formule:

PF₁ + PF₂ = costante

Dove PF₁ e PF₂ indicano le distanze dal punto P ai fuochi F₁ e F₂.

L’ellisse presenta due assi di simmetria perpendicolari tra loro che si incontrano in un punto. Gli assi dell’ellisse sono i segmenti che dividono l’ellisse in parti uguali, e i semiassi sono i segmenti in cui gli assi si suddividono vicendevolmente. I vertici dell’ellisse sono i quattro punti di intersezione tra l’ellisse e i suoi assi, mentre il centro dell’ellisse è il punto di intersezione degli assi e costituisce il centro di simmetria dell’ellisse.

I fuochi dell’ellisse sono i due punti rispetto ai quali i punti dell’ellisse realizzano la somma costante delle distanze. La semidistanza focale è la semidistanza tra i due fuochi.

L’eccentricità dell’ellisse è un valore che esprime la deformazione dell’ellisse rispetto ad una circonferenza.

L’ellisse gode di simmetria assiale e di simmetria centrale.

Formule dell’Ellisse

Ellisse in Geometria Analitica : Equazione e Rappresentazioni – YouTube

Equazione dell’ellisse (con centro nell’origine degli assi)

L’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e assi paralleli agli assi cartesiani è:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1 dove a ≠ 0 e b ≠ 0

L’equazione è di grado 2 nelle incognite x,y e rappresenta un’ellisse nel piano cartesiano. I coefficienti a e b sono, rispettivamente, le misure del semiasse orizzontale e del semiasse verticale dell’ellisse.

Assi e Semiassi dell’Ellisse

Il semiasse orizzontale dell’ellisse è a, mentre il semiasse verticale è b. Gli assi dell’ellisse sono i segmenti che dividono l’ellisse in parti uguali, mentre i semiassi sono i segmenti in cui gli assi si suddividono vicendevolmente. L’asse maggiore dell’ellisse corrisponde al semiasse più lungo, che può essere determinato confrontando i termini a² e b²:

• Se a² > b² l’asse maggiore è 2a e l’asse minore è 2b.
• Se b² > a² l’asse maggiore è 2b e l’asse minore è 2a.

Se a = b, l’ellisse si riduce ad una circonferenza e i due semiassi sono raggi.

Vertici dell’Ellisse (con centro nell’origine)

L’ellisse con centro nell’origine degli assi ha quattro vertici, le cui coordinate sono:

• V_1,2 = (±a,0)
• V_3,4 = (0,±b)

Fonte:YouMath

Fuochi, Semidistanza Focale ed Eccentricità dell’Ellisse

Fuochi dell’ellisse (con centro nell’origine)

I fuochi dell’ellisse giacciono sull’asse maggiore e sono simmetrici rispetto al centro. Se il centro dell’ellisse è nell’origine, le coordinate dei fuochi dipendono dal semiasse maggiore:

• Se a² > b², i fuochi sono (±c,0) dove c = √(a² – b²).
• Se b² > a², i fuochi sono (0,±c) dove c = √(b² – a²).

Semidistanza Focale dell’Ellisse

La semidistanza focale è la distanza tra uno dei fuochi e il centro dell’ellisse. Se il semiasse maggiore è a e la semidistanza focale è c, allora:

• Se a² > b², c = √(a² – b²).
• Se b² > a², c = √(b² – a²).

Eccentricità dell’Ellisse

L’eccentricità di un’ellisse è una grandezza che misura la deformazione dell’ellisse rispetto ad una circonferenza. Si indica con la lettera e e si calcola come il rapporto tra la semidistanza focale e la lunghezza del semiasse maggiore:

• Se a² > b², e = c/a.
• Se b² > a², e = c/b.

L’eccentricità è sempre compresa tra 0 (incluso) e 1 (escluso):

0 ≤ e < 1

In particolare:

• Se e = 0, la deformazione è nulla e l’ellisse si riduce ad una circonferenza. In questo caso, i fuochi coincidono con il centro dell’ellisse e la semidistanza focale è nulla. Il semiasse maggiore è uguale al semiasse minore e la formula per la semidistanza focale diventa c = 0.
• Se e = 1, la deformazione è massima e l’ellisse si riduce ad un segmento, che coincide con l’asse maggiore dell’ellisse. In questo caso, i fuochi si trovano agli estremi del segmento e la semidistanza focale è uguale alla lung

Ellisse: definizione e elementi caratteristici

L’ellisse è un luogo geometrico di punti del piano tali per cui la somma delle distanze da due punti fissi F₁ e F₂, detti fuochi, è costante. Questa condizione algebrica può essere scritta come:

PF₁ + PF₂ = costante

Le misure dei segmenti PF₁ e PF₂ sono indicate rispettivamente con a e b. L’ellisse ha due assi di simmetria perpendicolari tra loro, che si incontrano in un punto, chiamato centro di simmetria. Gli assi dividono l’ellisse in quattro parti uguali, dette quadranti. I vertici dell’ellisse sono i quattro punti di intersezione tra l’ellisse e i suoi assi. La semidistanza focale è la distanza tra il centro dell’ellisse e ciascun fuoco. L’eccentricità dell’ellisse è un valore che esprime la sua deformazione rispetto ad una circonferenza.

Equazione dell’ellisse

L’equazione di un’ellisse con centro nell’origine degli assi è:

^x/_a² + ^y/_b² = 1

dove a e b sono rispettivamente la lunghezza del semiasse orizzontale e verticale dell’ellisse. L’equazione di un’ellisse traslata di un vettore C(x_C, y_C) è:

^{(x – x_C)}/_a² + ^{(y – y_C)}/_b² = 1

Assi e vertici dell’ellisse

I due assi dell’ellisse dividono l’ellisse in quattro parti uguali e si incontrano nel centro di simmetria. Il semiasse maggiore è il segmento che passa per i due vertici opposti dell’ellisse, mentre il semiasse minore è il segmento che passa per i due vertici perpendicolari al semiasse maggiore.

Per un’ellisse con centro nell’origine degli assi, i vertici hanno le seguenti coordinate:

V_1,2 = (±a, 0) ; V_3,4 = (0, ±b)

Fuochi dell’ellisse

I fuochi dell’ellisse sono i due punti F₁ e F₂, ciascuno a distanza c dal centro dell’ellisse, dove c è la semidistanza focale dell’ellisse. Per un’ellisse con centro nell’origine degli assi

Formule dell’ellisse

Equazione dell’ellisse (con centro nell’origine degli assi)

L’equazione di un’ellisse con centro nell’origine degli assi è:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1 dove a ≠ 0 ≠ b.

Le formule per i semiasse orizzontale a e il semiasse verticale b dell’ellisse sono:

a semiasse orizzontale ; 2a asse orizzontale ; b semiasse verticale ; 2b asse verticale.

I vertici dell’ellisse sono:

V_1,2 = (±a,0) ; V_3,4 = (0,±b).

Fuochi dell’ellisse (con centro nell’origine)

I fuochi dell’ellisse giacciono sull’asse maggiore e sono simmetrici rispetto al centro. Le coordinate dei fuochi dipendono dal semiasse maggiore tra a e b:

se a² > b² → F_1,2 = (±c,0) dove c = √(a² – b²);

se b² > a² → F_1,2 = (0,±c) dove c = √(b² – a²).

La semidistanza focale c dell’ellisse è definita come:

se a² > b² → c = √(a² – b²);

se b² > a² → c = √(b² – a²).

L’eccentricità dell’ellisse e si indica con e, la sua formula è:

se a² > b² → e = c/a;

se b² > a² → e = c/b.

Equazione dell’ellisse traslata (con centro non nell’origine degli assi)

L’equazione di un’ellisse traslata con centro in C = (x_C,y_C) è:

((x – x_C)²/a²) + ((y – y_C)²/b²) = 1.

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