Le equazioni fratte di primo grado ad un’incognita sono equazioni che contengono frazioni algebriche in cui l’incognita compare almeno una volta a denominatore e che possono essere trasformate in equazioni di primo grado o eventualmente in equazioni senza incognite.
In questa lezione, forniremo la definizione delle equazioni fratte di primo grado, spiegando ogni dettaglio, e descriveremo le diverse possibilità per il numero di soluzioni. Inoltre, illustreremo il metodo di risoluzione e presenteremo una serie di esercizi svolti. Prima di ciò, è importante ricordare che nelle lezioni precedenti abbiamo analizzato le equazioni di primo grado ad un’incognita.
Equazioni fratte di primo grado
Definizione
Un’equazione fratta è un’equazione in cui compaiono rapporti di polinomi e l’incognita compare almeno una volta in uno dei denominatori. Le equazioni fratte di primo grado sono quelle che presentano frazioni algebriche e che possono essere ridotte alla forma normale di (N(x))/(D(x)) = 0, dove N(x) e D(x) sono due polinomi, con la condizione che N(x) può essere un polinomio nullo, di grado 0 o 1, mentre D(x) può avere un grado maggiore di 0.
Proprietà
Le equazioni fratte di primo grado devono soddisfare due proprietà:
- L’incognita deve essere presente in almeno un denominatore.
- Devono poter essere ridotte alla forma normale di (N(x))/(D(x)) = 0.
Esempi
Sono esempi di equazioni fratte di primo grado:
- (1)/(x) = 0
- (x+1)/(x-1) = 0
- (x)/(x+2) = 2
- (x+4)/(3x+3) = (x)/(1+x)
- (x+5)/(x^2+x+3) = 0
- (x)/(x^3-1) = 0
Non sono equazioni fratte di primo grado:
- (x)/(2) = (x+5)/(3)
- (x+1)/(5) = (5+x)/(2)
- (x^2-1)/(x) = 0
Equazioni Fratte – YouTube
Numero di soluzioni di un’equazione fratta di primo grado
Introduzione
Come abbiamo appreso nella lezione sui principi di equivalenza delle equazioni, ogni equazione può avere un numero finito di soluzioni, infinite soluzioni o nessuna soluzione. Nel caso delle equazioni fratte di primo grado, possiamo essere ancora più precisi riguardo al numero di soluzioni.
Tre possibilità
Le equazioni fratte di primo grado possono avere tre possibilità di soluzione:
- L’equazione ha una e una sola soluzione. In questo caso, l’equazione è determinata.
- L’equazione ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso, l’equazione è indeterminata.
- L’equazione non ha soluzioni. In questo caso, l’equazione è impossibile.
Esempi
Per esempio, consideriamo l’equazione fratta di primo grado (2x + 1)/(x + 1) = 3. Possiamo risolvere questa equazione moltiplicando entrambi i membri per (x + 1) e otteniamo 2x + 1 = 3(x + 1). Risolvendo l’equazione, otteniamo x = 1. Quindi, l’equazione ha una sola soluzione e quindi è determinata.
Consideriamo ora l’equazione fratta di primo grado (2x + 1)/(x + 1) = (4x + 2)/(2x + 2). Possiamo semplificare l’equazione ottenendo (2x + 1)/(x + 1) = (2x + 2)/(x + 1) e semplificare ulteriormente ottenendo 2x + 1 = 2x + 2. In questo caso, non abbiamo ottenuto una soluzione definitiva e abbiamo ancora x su entrambi i membri dell’equazione. Quindi, l’equazione ha un numero infinito di soluzioni ed è indeterminata.
Infine, consideriamo l’equazione fratta di primo grado (2x + 1)/(x + 1) = -1. Moltiplicando entrambi i membri per x + 1, otteniamo 2x + 1 = -x – 1. Risolvendo l’equazione, otteniamo x = -2/3. Ma, sostituendo questo valore iniziale nella nostra equazione, otteniamo una contraddizione. Quindi, l’equazione non ha soluzioni e quindi è impossibile.
Fonte: YouMath.
Come risolvere le equazioni fratte di primo grado
Introduzione
La risoluzione delle equazioni fratte di primo grado può sembrare complessa a prima vista, ma seguendo uno schema preciso, può essere molto semplice. In questo articolo, vediamo come risolvere le equazioni fratte di primo grado passo dopo passo.
Schema generale
Lo schema generale per la risoluzione di un’equazione fratta di primo grado è il seguente:
Passo 1: Condizioni di esistenza
Analizziamo le frazioni algebriche dell’equazione e prendiamo in considerazione tutti i denominatori in cui l’incognita x compare almeno una volta. Inizialmente, consideriamo R (l’insieme dei numeri reali) come l’insieme di esistenza delle soluzioni dell’equazione.
In seguito, imponiamo le condizioni di esistenza dell’equazione fratta di primo grado, che consistono in un’equazione di primo grado che si risolve in un passaggio. Implichiamo che i valori dell’incognita x che annullano i denominatori in cui compare x siano esclusi dalle soluzioni dell’equazione.
Passo 2: Riduzione dell’equazione
Moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per i minimi comuni multipli dei denominatori dell’equazione, ottenendo così un’equazione intera. Risolviamo quindi l’equazione intera ottenuta.
Passo 3: Verifica delle soluzioni
Verifichiamo le soluzioni dell’equazione trovate nel passo precedente, per assicurarci che siano anche soluzioni dell’equazione fratta di primo grado.
Esempi
Consideriamo l’equazione fratta di primo grado (2x + 1)/(x + 1) = 3. Prima di procedere alla riduzione dell’equazione, dobbiamo controllare le condizioni di esistenza dell’equazione fratta di primo grado, che in questo caso sono x ≠ -1. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per x + 1, otteniamo 2x + 1 = 3(x + 1), che semplificando diventa x = 1. Verifichiamo che x = 1 sia una soluzione dell’equazione fratta di primo grado, ottenendo (2(1) + 1)/(1 + 1) = 3, che è vero.
Consideriamo ora l’equazione fratta di primo grado (x + 1)/(x – 2) – 2 = (2x – 1)/(x – 2). Dobbiamo controllare le condizioni di esistenza dell’equazione fratta di primo grado, che in questo caso sono x ≠ 2. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per x – 2, otteniamo x + 1 – 2(x – 2) = 2x – 1, che semplificando diventa x = 4. Verifichiamo che x = 4 sia una soluzione dell’equazione fratta di primo grado, ottenendo (
Passo 2 – Riduzione alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado
Dopo aver imposto le condizioni di esistenza dell’equazione fratta di primo grado, il passo successivo è la riduzione dell’equazione alla forma normale:
(N(x))/(D(x)) = 0
Per raggiungere questo obiettivo, è necessario effettuare tutte le operazioni tra frazioni algebriche necessarie. In pratica, è consigliabile portare tutti i termini dell’equazione al membro di sinistra e lasciare 0 al membro di destra, per poi svolgere le operazioni necessarie al membro di sinistra.
Durante la riduzione dell’equazione, potremmo scoprire che l’equazione fratta non è di primo grado. In effetti, una equazione fratta di primo grado è riconducibile alla forma normale, dove N(x) è un polinomio nullo, di grado 0 o 1 e D(x) è un polinomio di grado qualsiasi e maggiore di 0.
Quindi, il primo passo è verificare se l’equazione fratta può essere ridotta alla forma normale, dove N(x) e D(x) sono polinomi come descritto sopra. Se l’equazione fratta è riducibile a questa forma, allora possiamo proseguire con la risoluzione dell’equazione come se fosse un’equazione di primo grado.
Passo 3 – Riduzione a un’equazione di primo grado (o senza incognita)
Dopo aver ridotto l’equazione fratta alla forma normale, il passo successivo è la riduzione a un’equazione di primo grado o senza incognita. Le condizioni di esistenza dell’equazione fratta sono fondamentali in questo passaggio, perché ci permettono di applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni senza rischiare di introdurre soluzioni non ammesse.
Per eliminare il denominatore, moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per il denominatore D(x), ottenendo così un’equazione di primo grado o senza incognita:
D(x)·(N(x))/(D(x)) = D(x)·0
Se l’equazione fratta di primo grado è riducibile alla forma normale, la soluzione può essere trovata risolvendo l’equazione di primo grado ottenuta in questo passaggio.
Tuttavia, è importante sottolineare che le condizioni di esistenza vanno sempre imposte prima di procedere con i calcoli. In questo modo, ci assicuriamo di lavorare sempre nell’insieme di esistenza delle soluzioni, senza rischiare di ottenere soluzioni non ammesse per la forma iniziale dell’equazione.
L’omissione delle condizioni di esistenza potrebbe portare a una soluzione che risolve la forma finale dell’equazione, ma che annulla uno dei denominatori nella forma iniziale, portando a soluzioni non ammesse. In altre parole, le condizioni di esistenza garantiscono che stiamo lavorando con equazioni equivalenti, evitando di ampliare l’insieme di esistenza delle soluzioni o introdurre soluzioni non ammesse.
Passo 4 – Risoluzione dell’equazione di primo grado e confronto con le CE
Per concludere la risoluzione delle equazioni fratte di primo grado, dobbiamo risolvere l’equazione di primo grado rimanente, N(x) = 0, o eventualmente l’equazione senza incognita ottenuta. Una volta trovate le soluzioni, dobbiamo confrontarle con le condizioni di esistenza per verificare se sono soluzioni ammissibili per l’equazione fratta originale. Ci sono quattro possibili scenari:
A) Equazione determinata con soluzione ammissibile
L’equazione di primo grado ammette una sola soluzione, x = numero, che è ammissibile secondo le condizioni di esistenza. In questo caso, la soluzione trovata è anche l’unica soluzione per l’equazione fratta di primo grado (equazione determinata).
B) Equazione determinata con soluzione non ammissibile
L’equazione di primo grado ammette una sola soluzione, x = numero, che non è ammissibile secondo le condizioni di esistenza. In questo caso, l’equazione fratta di primo grado non ha soluzioni (equazione impossibile).
C) Equazione indeterminata
L’equazione di primo grado è senza incognita e ammette infinite soluzioni, ∀ x, ad eccezione di alcuni valori che violano le condizioni di esistenza. In questo caso, l’equazione fratta di primo grado ha infinite soluzioni, escluse quelle che violano le condizioni di esistenza (equazione indeterminata).
D) Equazione impossibile
L’equazione di primo grado è senza incognita e non ha soluzioni. In questo caso, l’equazione fratta di primo grado non ha soluzioni (equazione impossibile).
Come risolvere le equazioni fratte di primo grado
La risoluzione delle equazioni fratte di primo grado richiede l’applicazione di uno schema, composto da quattro passaggi fondamentali.
Passo 1 – Condizioni di esistenza
Prima di procedere alla risoluzione dell’equazione fratta, è necessario determinare le condizioni di esistenza, ovvero tutti i valori che l’incognita non può assumere senza invalidare l’equazione. Per le equazioni fratte di primo grado, le condizioni di esistenza consistono nell’imporre che tutti i denominatori in cui compare l’incognita siano diversi da zero.
Passo 2 – Riduzione alla forma normale
Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, si procede alla riduzione dell’equazione fratta alla forma normale (N(x))/(D(x)) = 0, dove N(x) è un polinomio di grado 0 o 1 e D(x) è un polinomio di grado maggiore di 0.
Passo 3 – Riduzione a un’equazione di primo grado (o senza incognita)
Applicate le condizioni di esistenza, si moltiplicano entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori e si ottiene così un’equazione di primo grado o senza incognita, a seconda del caso.
Passo 4 – Risoluzione dell’equazione di primo grado e confronto con le CE
Infine, si risolve l’equazione di primo grado e si confrontano le soluzioni con le condizioni di esistenza imposte precedentemente. In base ai risultati, l’equazione fratta può essere determinata, indeterminata o impossibile.
Esempi sulle equazioni fratte di primo grado
Esempio 1 – Equazione fratta di primo grado determinata
Consideriamo l’equazione:
(x)/(2x+2) = (x-1)/(x+1)
Le condizioni di esistenza sono:
2(x+1) ≠ 0 ; x+1 ≠ 0 → x ≠ -1 ; x ≠ -1
La frazione algebrica diventa:
(x)/(2(x+1))-(x-1)/(x+1) = 0
Riduciamo tutto allo stesso denominatore:
(x-2(x-1))/(2(x+1)) = 0 ; (x-2x+2)/(2(x+1)) = 0 ; (-x+2)/(2(x+1)) = 0
Cancellando il denominatore, otteniamo:
-x+2 = 0 → x = 2
La soluzione x = 2 è ammissibile, poiché non annulla nessuno dei denominatori. Quindi, l’equazione fratta di primo grado è determinata e ammette come unica soluzione x = 2.
Come risolvere le equazioni fratte di primo grado
La risoluzione delle equazioni fratte di primo grado può sembrare complicata, ma seguendo uno schema di procedura, è possibile risolverle facilmente. Ecco come:
Passo 1 – Condizioni di esistenza
Prima di tutto, è necessario determinare l’insieme di esistenza delle soluzioni dell’equazione fratta. Poiché non è possibile dividere per zero, dobbiamo escludere tutti i valori dell’incognita x che annullano i denominatori in cui compare. Le condizioni di esistenza (CE) sono rappresentate dalle equazioni di primo grado che si ottengono ponendo diverso da zero ciascun denominatore contenente l’incognita.
Passo 2 – Riduzione alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado
Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, dobbiamo portare l’equazione fratta alla forma normale (N(x))/(D(x)) = 0, dove N(x) è un polinomio nullo, di grado 0 o 1, e D(x) è un polinomio di grado qualsiasi e maggiore di 0.
Passo 3 – Riduzione a un’equazione di primo grado (o senza incognita)
Una volta ottenuta la forma normale dell’equazione fratta, possiamo eliminare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per D(x). In questo modo otterremo un’equazione di primo grado, o eventualmente senza incognita.
Passo 4 – Risoluzione dell’equazione di primo grado e confronto con le CE
L’ultima fase consiste nella risoluzione dell’equazione di primo grado ottenuta al passo precedente e nel confronto della soluzione ottenuta con le condizioni di esistenza imposte inizialmente.
Esempi sulle equazioni fratte di primo grado
Vediamo ora alcuni esempi per capire meglio come applicare la procedura appena descritta.
Esempio 1 – Equazione fratta di primo grado determinata
Risolvere l’equazione: (x)/(2x+2) = (x-1)/(x+1)
Passo 1 – CE
2x+2 ≠ 0; x+1 ≠ 0 → x ≠ -1
Passo 2 – Riduzione alla forma normale
(x)/(2x+2)-(x-1)/(x+1) = 0 → (x)/(2(x+1))-(x-1)/(x+1) = 0 → (x-2(x-1))/(2(x+1)) = 0 → (-x+2)/(2(x+1)) = 0
Passo 3 – Riduzione a un’equazione di primo grado
Eliminiamo il denominatore moltiplicando per 2(x
Esempi sulle equazioni fratte di primo grado
Nella risoluzione delle equazioni fratte di primo grado sono fondamentali i passi che abbiamo visto finora: impostare le condizioni di esistenza, portare l’equazione alla forma normale e ridurla a un’equazione di primo grado. Vediamo alcuni esempi svolti, commentando ogni singolo passaggio e mettendo in evidenza i vari aspetti delicati nella risoluzione.
Esempio 1 – Equazione fratta di primo grado determinata
Risolviamo l’equazione:
(x)/(2x+2) = (x-1)/(x+1)
Prima di tutto impostiamo le condizioni di esistenza:
CE 2x+2 ≠ 0 ; x+1 ≠ 0 → 2(x+1) ≠ 0 ; x+1 ≠ 0 → x ≠-1 ; x ≠-1
Le condizioni di esistenza ci permettono di eliminare l’elemento -1 dall’insieme di esistenza delle soluzioni. Portiamo la frazione algebrica di destra a sinistra:
(x)/(2x+2)-(x-1)/(x+1) = 0
Calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore e riduciamoci a un’unica frazione algebrica:
(x)/(2(x+1))-(x-1)/(x+1) = 0
Applichiamo la regola dei segni:
(x-2(x-1))/(2(x+1)) = 0 ; (x-2x+2)/(2(x+1)) = 0 ; (-x+2)/(2(x+1)) = 0
Cancelliamo il denominatore con le condizioni di esistenza:
-x+2 = 0 → x = 2
Poiché le CE impongono x ≠-1, la soluzione è accettabile. L’equazione di primo grado è determinata e ammette come unica soluzione x = 2.
Esempio 2 – Equazione fratta di primo grado indeterminata
Risolviamo l’equazione:
((x+1)/(2))/((x)/(3)) = (x-1)/(2x)+(x+2)/(x)
Impostiamo le condizioni di esistenza:
CE (x)/(3) ≠ 0 ; 2x ≠ 0 ; x ≠ 0 → x ≠ 0 ; x ≠ 0 ; x ≠ 0
Le condizioni di esistenza impongono soltanto x ≠ 0. Applichiamo la regola per le frazioni di frazioni al membro di sinistra:
(x+1)/(2)·(3)/(x) = (x-1)/(2x)+(x+2)/(x)
Portiamo tutto a sinistra e riduciamo il membro di sinistra a un’unica frazione algebrica:
(3x+3)/(2x)-(x-1)/(2x)-(x+
Equazione fratta di primo grado impossibile
In questo esempio abbiamo un’equazione fratta di primo grado impossibile:
(3x+1)/(x+2)-(3x+26)/(x^2-4) = (3x-1)/(x-2)
Prima di iniziare a manipolare l’equazione, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza (CE):
- x+2 ≠ 0;
- x^2-4 ≠ 0;
- x-2 ≠ 0;
Le prime due condizioni di esistenza sono facilmente risolte, mentre la terza richiede l’applicazione della regola per la differenza di quadrati:
x^2-4 ≠ 0 → (x-2)(x+2) ≠ 0
Grazie alla legge di annullamento del prodotto, otteniamo:
x-2 ≠ 0 → x ≠ 2 ; x+2 ≠ 0 → x ≠-2
Quindi la CE si può scrivere usando il simbolo di congiunzione logica ∧ (connettivo logico e):
x ≠-2 ∧ x ≠ 2
Procediamo ora con i calcoli, portando tutte le frazioni algebriche a sinistra dell’uguale:
(3x+1)/(x+2)-(3x+26)/((x-2)(x+2))-(3x-1)/(x-2) = 0
E riduciamo l’equazione a un unico rapporto:
((3x+1)(x-2)-(3x+26)-(3x-1)(x+2))/((x+2)(x-2)) = 0
Sviluppiamo i prodotti a numeratore e facciamo attenzione alla regola dei segni:
(3x^2-6x+x-2-3x-26-(3x^2+6x-x-2))/((x+2)(x-2)) = 0 ; (3x^2-6x+x-2-3x-26-3x^2-6x+x+2)/((x+2)(x-2)) = 0
Cancelliamo i monomi simili:
(-6x+x-3x-26-6x+x)/((x+2)(x-2)) = 0
Ossia:
(-13x-26)/((x+2)(x-2)) = 0
Le condizioni di esistenza ci consentono di cancellare il denominatore, ottenendo:
-13x-26 = 0 → x = (26)/(-13) = -2
Tuttavia, questa soluzione non è accettabile in forza delle CE, che ci dicono che x ≠-2 ∧ x ≠ 2. Pertanto, l’equazione è impossibile.
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