Una matrice rappresenta in modo ordinato gli elementi di un insieme, che possono essere numeri, vettori, funzioni o loro derivate. Questo strumento matematico consente di rappresentare con precisione diversi concetti matematici e trova applicazione in vari campi della Matematica, non solo nell’Algebra Lineare.
Nella lezione in questione, saranno presentate informazioni sulla struttura e gli elementi di una matrice, la sua dimensione e i tipi di matrici più comuni, utili per le lezioni successive.
Cos’è una matrice
Una matrice è una tabella ordinata di elementi appartenenti allo stesso insieme. Ad esempio, una matrice contenente numeri reali come:
[ 1 2 3 ; 3 4 5]
è una matrice. Le righe orizzontali vengono dette righe della matrice, mentre quelle verticali vengono dette colonne. Una matrice si indica con una lettera maiuscola e viene scritta in questo modo:
I pedici di ogni elemento della matrice hanno un significato ben preciso: il primo e il secondo numero indicano rispettivamente la riga e la colonna in cui l’elemento è posizionato. Ogni elemento ha una posizione ben precisa e si indica l’elemento della matrice A che corrisponde all’incrocio tra la riga i-esima e la colonna j-esima come aij.
Ad esempio, a13 indica l’elemento di una matrice A che si trova all’incrocio tra la prima riga e la terza colonna, mentre b52 denota l’elemento di una matrice B situato all’incrocio tra la quinta riga e la seconda colonna. In generale, una matrice con m righe e n colonne viene indicata come A = (aij) con i = 1,...,m e j = 1,...,n.
Cos’è una matrice
Una matrice è semplicemente una tabella ordinata di elementi appartenenti allo stesso insieme. Le righe orizzontali vengono dette righe della matrice, quelle verticali vengono dette colonne. Generalmente una matrice si indica con una lettera maiuscola e viene scritta nel modo seguente:
A = [ a11 a12 … a1n ; a21 a22 … a2n ; … … … … ; am1 am2 … amn]
I pedici di ogni elemento della matrice hanno un significato ben preciso: il primo e il secondo numero indicano rispettivamente la riga e la colonna in cui l’elemento è posizionato. Ad esempio a13 indica l’elemento di una matrice A che si trova all’incrocio tra la prima riga e la terza colonna.
MATRICI: DEFINIZIONE DI MATRICE E TIPI PARTICOLARI – YouTube
Dimensione di una matrice
Chiamiamo dimensione di una matrice il prodotto tra il numero di righe e il numero di colonne. Tale prodotto va indicato come tale e non come numero: ad esempio se una matrice A ha m righe e n colonne, diciamo che A ha dimensione m×n.
Inoltre, una matrice di dimensione m×n viene detta matrice di tipo (m,n), e se i suoi elementi sono numeri reali, si dice che essa appartiene a Rm×n, spesso indicato come Rm,n oppure come Mat(m,n,R).
Esempio
Sia A = [-1 5 8 ; 3 -1 7 ; 15 2 -4 ; 0 1 -1]
- Di che tipo è, e qual è la sua dimensione?
Avendo 4 righe e 3 colonne è una matrice di tipo (4,3), la cui dimensione è 4×3. - A cosa appartiene?
I suoi elementi numeri reali, dunque A ∈ R4,3, oppure A ∈ Mat(4,3,R) - Quale elemento occupa la posizione a41 ?
Dobbiamo individuare l’elemento che occupa la posizione: quarta riga, prima colonna. In tale posizione c’è uno zero, pertanto a41 = 0
Tipologie di matrici
Una matrice è una tabella di elementi appartenenti allo stesso insieme organizzati in righe e colonne. Vediamo ora alcune tipologie di matrici:
Matrice riga
Una matrice riga è formata da una sola riga e viene usata per rappresentare le componenti di un vettore.
Esempi:
[-1 0 2 3] ∈ R^(1,4)
[(1)/(3) 2] ∈ R^(1,2)
Matrice colonna
Una matrice colonna è formata da una sola colonna e viene anche detta vettore colonna.
Esempi:
[-3 ; 5 ; 3 ; 0 ; 7 ] ∈ R^(5,1)
[6 ; 2 ;-5 ] ∈ R^(3,1)
Matrice rettangolare
Una matrice rettangolare ha un numero di righe diverso dal numero di colonne, cioè con m ≠ n.
Esempi:
[-1 0 7 ; 4 6 -2 ] ∈ R^(2,3)
[5 8 ; 3 -5 ; 0 1 ;-1 3 ] ∈ R^(4,2)
Matrice quadrata
Una matrice quadrata ha un numero di righe uguale al numero di colonne (m = n), e questo numero prende il nome di ordine della matrice. Le matrici quadrate sono le uniche per cui è possibile calcolare il determinante e cercare la matrice inversa (se esiste).
Esempi:
[-2 3 ; 1 1 ] ∈ R^(2,2)
[4 -1 2 ; 0 5 0 ; 1 2 -3 ] ∈ R^(3,3)
In una matrice quadrata, si dice:
- diagonale principale, la diagonale che va dall’angolo in alto a sinistra all’angolo in basso a destra;
- diagonale secondaria (o antidiagonale), la diagonale che va dall’angolo in alto a destra all’angolo in basso a sinistra.
Esempio:
[-4 9 1 ; 15 -81 7 ; 5 12 44 ]
La diagonale principale è formata dagli elementi -4, -81 e 44, mentre la diagonale secondaria dagli elementi 1, -81 e 5.
Matrice diagonale
Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui gli elementi sono tutti nulli ad eccezione di quelli posti sulla diagonale principale.
Tipi di matrici
Matrice riga e colonna
Una matrice riga è una matrice di tipo (1,n), che consiste in una sola riga, indipendentemente dal numero di colonne. Le matrici riga sono utilizzate per riportare le componenti di un vettore, motivo per cui vengono anche chiamate vettore riga.
Una matrice colonna è una matrice formata da una sola colonna, quindi del tipo (m,1), ed è anche detta vettore colonna.
Matrice rettangolare e quadrata
Una matrice rettangolare è una matrice in cui il numero di righe è diverso dal numero di colonne (m ≠ n).
Una matrice quadrata è una matrice che ha il numero di righe uguale al numero di colonne (m = n). Questo numero prende il nome di ordine della matrice. In una matrice quadrata, si definisce:
- la diagonale principale come la diagonale che va dall’angolo in alto a sinistra all’angolo in basso a destra;
- la diagonale secondaria (o antidiagonale) come la diagonale che va dall’angolo in alto a destra all’angolo in basso a sinistra.
Matrice diagonale e antidiagonale
Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui gli elementi sono tutti nulli ad eccezione di quelli posti sulla diagonale principale.
Una matrice antidiagonale è una matrice quadrata in cui i soli termini della diagonale secondaria possono essere diversi da zero.
Matrice identità e nulla
Una matrice identità si indica generalmente con Id, Id_(n), I o con I_n ed è una matrice diagonale avente tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0 altrove.
Una matrice nulla è una matrice (rettangolare o quadrata) di dimensione qualsiasi, costituita da soli 0.
Matrice triangolare superiore e inferiore
Una matrice triangolare superiore è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale uguali a zero.
Tipi di matrici
In matematica, esistono diversi tipi di matrici, ognuno con caratteristiche specifiche.
Matrice riga e matrice colonna
Una matrice riga è una matrice di tipo (1,n), ossia è formata da una sola riga, indipendentemente dal numero delle colonne. Le matrici riga vengono spesso utilizzate per riportare le componenti di un vettore.
Una matrice colonna è una matrice formata da una sola colonna, ossia del tipo (m,1) e viene anche detta vettore colonna.
Matrice rettangolare e matrice quadrata
Una matrice rettangolare è una matrice in cui il numero delle righe è diverso dal numero delle colonne, cioè con m ≠ n.
Una matrice quadrata è una matrice che ha il numero di righe uguale al numero di colonne (m = n), e questo numero prende il nome di ordine della matrice.
Matrice diagonale e matrice antidiagonale
Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui gli elementi sono tutti nulli ad eccezione di quelli posti sulla diagonale principale.
Una matrice antidiagonale è una matrice quadrata in cui i soli termini della diagonale secondaria possono essere diversi da zero.
Matrice identità e matrice nulla
Una matrice identità è una matrice diagonale avente tutti 1 sulla diagonale principale e tutti 0 altrove.
Una matrice nulla è una matrice (rettangolare o quadrata) di dimensione qualsiasi, costituita da soli 0.
Matrice triangolare
Una matrice triangolare superiore è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale uguali a zero.
Una matrice triangolare inferiore è una matrice quadrata avente tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale uguali a 0.
Matrice a scalini
Una qualsiasi matrice (quadrata o rettangolare) è detta matrice a scalini o matrice a gradini se il primo elemento diverso da zero della i-esima riga, con i > 1, è più a destra del primo elemento diverso da zero della riga precedente. Il primo elemento diverso da zero su ogni riga (quando c’è) è detto pivot.
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