I due teoremi di Euclide riguardano la relazione tra le misure dei cateti, dell’ipotenusa e dell’altezza di un triangolo rettangolo con le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Il primo teorema stabilisce che in un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa, mentre il secondo teorema stabilisce che l’altezza relativa all’ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
In sintesi, i due teoremi forniscono formule per calcolare la lunghezza dei lati e dell’altezza di un triangolo rettangolo in funzione delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa nel triangolo rettangolo: teoremi di Euclide
Premessa
Il teorema di Euclide riguardante le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è fondamentale per la risoluzione dei problemi relativi ai triangoli rettangoli. Ma cosa si intende esattamente per “proiezione di un cateto sull’ipotenusa”?
Definizione
Consideriamo un triangolo rettangolo ABC, in cui l’angolo retto è rappresentato dal vertice A. Tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC e chiamiamo H il punto di intersezione tra l’altezza e l’ipotenusa.
Le proiezioni dei cateti sul segmento AH sono i segmenti CH e BH. CH è la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa, mentre BH è la proiezione del cateto AB sull’ipotenusa.
Teorema di Euclide
Il teorema di Euclide riguardante le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa afferma che la somma delle lunghezze dei due segmenti CH e BH è uguale alla lunghezza dell’ipotenusa BC. In altre parole:
CH + BH = BC
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Il primo teorema di Euclide nel triangolo rettangolo
Premessa
Il primo teorema di Euclide è uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea. Esso riguarda la relazione tra i tre elementi di un triangolo rettangolo: l’ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa.
Enunciato
Il primo teorema di Euclide afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei cateti è equivalente al rettangolo che ha come dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.
In formule, per il cateto AB abbiamo:
AB^2 = BH x BC
Mentre, per il cateto AC abbiamo:
AC^2 = CH x BC
Significato
Il primo teorema di Euclide mette in relazione le lunghezze dei lati del triangolo rettangolo e delle sue proiezioni. Il quadrato costruito sul cateto minore AB ha la stessa area del rettangolo che ha come dimensioni la proiezione BH e l’ipotenusa BC. Allo stesso modo, il quadrato costruito sul cateto maggiore AC ha la stessa area del rettangolo che ha come dimensioni la proiezione CH e l’ipotenusa BC.
Formulazione equivalente
Il primo teorema di Euclide ammette una formulazione equivalente, espressa nel linguaggio delle proporzioni. In particolare, in un triangolo rettangolo ciascun cateto è il medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa. In formule, ciò si traduce nelle seguenti proporzioni:
BC:AB = AB:BH
BC:AC = AC:CH
Esempio sul primo teorema di Euclide
Dati
Dato un triangolo rettangolo ABC, retto in A, con ipotenusa BC di 10 cm e con la proiezione del cateto minore AB sull’ipotenusa BC pari a 3,6 cm.
Svolgimento
Applicando il primo teorema di Euclide, possiamo calcolare la lunghezza del cateto AB mediante la proporzione:
BC:AB = AB:BH
dove BH è la proiezione del cateto minore sull’ipotenusa.
Quindi, avremo:
BC:AB = AB:BH
10:AB = AB:3,6
AB^2 = 10 x 3,6
AB = √(10 x 3,6) = 6 cm
La proiezione relativa al cateto maggiore può essere trovata come differenza tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto minore:
CH = BC – BH = (10 – 3,6) cm = 6,4 cm
Applicando nuovamente il primo teorema di Euclide, possiamo calcolare la lunghezza del cateto maggiore AC mediante la proporzione:
BC:AC = AC:CH
10:AC = AC:6,4
AC^2 = 10 x 6,4
AC = √(10 x 6,4) = 8 cm
Perimetro
Infine, calcoliamo il perimetro del triangolo rettangolo:
Perimetro = AB + BC + AC
Perimetro = 6 cm + 10 cm + 8 cm = 24 cm
Fonte skuola.net.
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