Per effettuare l’operazione di somma o sottrazione fra frazioni aventi denominatori diversi, è necessario trovare il minimo comune denominatore. Il minimo comune denominatore è definito come il multiplo più piccolo che può essere diviso in modo uniforme per tutti i denominatori delle frazioni coinvolte. Questo concetto è analogo a quello del minimo comune multiplo, che è un termine comune nell’ambito dei numeri interi.
Tuttavia, il concetto di minimo comune denominatore è applicabile alle frazioni. Una volta trovato il minimo comune denominatore, è possibile convertire le frazioni in modo che abbiano tutte lo stesso denominatore. Ciò rende più facile procedere con le operazioni di addizione e sottrazione tra le frazioni.
Moltiplicazione dei Denominatori
Per trovare il minimo comune multiplo tra i denominatori di diverse frazioni, è necessario calcolare i multipli di ciascun denominatore. Per fare questo, si deve moltiplicare ogni denominatore per 1, 2, 3, 4 e così via, considerando i prodotti. Ad esempio, per le frazioni 1/2, 1/3 e 1/5, si calcoleranno i multipli dei numeri 2, 3 e 5 come segue:
Multipli di 2
2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14 e così via.
Multipli di 3
3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21 eccetera.
Multipli di 5
5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35 e così via.
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Identificazione del Minimo Comune Multiplo
Dopo aver trovato i multipli di ogni denominatore, è necessario individuare il minimo comune multiplo tra di essi. Per fare questo, si devono analizzare tutti gli elenchi e individuare ogni numero che è condiviso da tutti i denominatori originali. Una volta trovati tutti i multipli comuni, si identifica il minore. Nel caso in cui non si trovi alcun multiplo comune, bisogna continuare a stilare gli elenchi finché non si trova un prodotto comune.
Riscrittura dell’Equazione
Dopo aver trovato il minimo comune denominatore, è necessario riscrivere ogni frazione in modo che l’equazione iniziale non perda di veridicità. Questo si ottiene moltiplicando il denominatore e il numeratore (il valore che si trova sopra la linea di frazione) per lo stesso fattore utilizzato per trovare il minimo comune denominatore corrispondente. Ad esempio, considerando le frazioni precedenti, si deve riscrivere l’equazione in questo modo: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5). La nuova equazione avrà questo aspetto: 15/30 + 10/30 + 6/30.
Risoluzione del Problema
Dopo aver trovato il minimo comune denominatore e convertito le frazioni di conseguenza, è possibile procedere alla somma o alla sottrazione senza altre difficoltà. Alla fine, si semplifica la frazione risultante. Ad
Calcolo dei Fattori dei Denominatori
Per trovare il massimo comune divisore tra i denominatori di diverse frazioni, è necessario calcolare i fattori di ciascun denominatore. I fattori di un numero sono tutti i numeri interi che possono dividerlo, compreso l’1 e il numero stesso. Ad esempio, per le frazioni 3/8 e 5/12, si calcoleranno i fattori dei numeri 8 e 12 come segue:
Fattori di 8
1; 2; 4; 8
Fattori di 12
1; 2; 3; 4; 6; 12
Identificazione del Massimo Comune Divisore
Dopo aver scritto l’elenco di tutti i fattori per ciascun denominatore, si devono circondare quelli comuni. Il fattore maggiore è il massimo comune divisore (MCD), che verrà utilizzato per risolvere il problema. Nel caso delle frazioni precedenti, i numeri 8 e 12 condividono i divisori 1, 2 e 4. Il maggiore fra i tre è 4.
Moltiplicazione dei Denominatori
Per utilizzare il MCD per risolvere il problema, si deve prima moltiplicare i denominatori tra loro. Continuando con l’esempio precedente, 8 * 12 = 96.
Divisione per il Massimo Comune Divisore
Una volta trovato il prodotto dei denominatori, si deve dividere per il MCD calcolato in precedenza. In questo modo si otterrà il minimo comune denominatore. Ad esempio, 96 / 4 = 24.
Riscrittura dell’Equazione
Per trovare il multiplo che serve per rendere i denominatori tutti uguali, si deve dividere il minimo comune denominatore che si è trovato per il denominatore di ciascuna frazione. Successivamente, si moltiplica il numeratore della frazione per il quoziente che si è calcolato. A questo punto, tutti i denominatori dovrebbero essere uguali. Ad esempio, considerando le frazioni precedenti, si deve riscrivere l’equazione in questo modo: (3/8) * (3/3); (5/12) * (2/2). La nuova equazione avrà questo aspetto: 9/24 + 10/24.
Risoluzione del Problema
Grazie al minimo comune denominatore, si possono sommare e sottrarre le frazioni. Alla fine, si deve semplificare il risultato, se possibile. Ad esempio, 9/24 + 10/24 = 19/24.
Scomposizione dei Denominatori in Fattori Primi
Per trovare il minimo comune denominatore di una serie di frazioni, è necessario scomporre ogni denominatore in fattori primi. I numeri primi sono quei numeri divisibili solo per 1 e per se stessi. Ad esempio, consideriamo le frazioni 1/4 + 1/5 + 1/12. Le scomposizioni in fattori primi dei relativi denominatori sono le seguenti:
Conteggio delle Apparizioni dei Fattori Primi
Conta il numero di volte che ciascun numero compare nella scomposizione. Somma fra loro il numero di volte che ogni numero primo appare in ogni scomposizione per ciascun denominatore. Ad esempio, ci sono due 2 nel 4; nessun 2 nel 5 e due 2 nel 12. Non c’è alcun 3 nel 4 e nel 5, mentre c’è un 3 nel 12. Non c’è alcun 5 nel 4 e nel 12, ma c’è un 5 nel 5.
Identificazione del Conteggio Maggiore dei Fattori Primi
Per ogni numero primo, scegli il maggior numero di volte che compare. Identifica il maggior numero di volte in cui ogni fattore primo appare in ciascuna scomposizione e prendine nota. Ad esempio, il numero maggiore di volte in cui 2 è presente è due; il numero maggiore di volte in cui 3 è presente è uno e il numero maggiore di volte in cui 5 è presente è uno.
Riscrittura del Minimo Comune Denominatore
Scrivi ogni numero primo tante volte quante ne hai contate nel passaggio precedente. Non devi scrivere quante volte questo appare, ma ripetere il numero stesso tante volte quante appare in tutti i denominatori originali. Tieni in considerazione solo il conteggio maggiore, quello trovato nel passaggio precedente. Ad esempio, i fattori primi maggiori trovati nell’esempio precedente sono 2, 2, 3 e 5. Moltiplica tutti questi fattori primi tra loro e otterrai il minimo comune denominatore, che in questo caso è 60.
Riscrittura dell’Equazione
Per trovare il multiplo che rende i vari denominatori tutti uguali, dividi il minimo comune denominatore per quello originale. In seguito, moltiplica il numeratore e il denominatore di ogni frazione per il quoziente ottenuto. Ora i denominatori sono tutti uguali e pari al minimo comune denominatore. Ad esempio, considerando l’esempio precedente, il minimo comune denominatore è 60. Dividendo 60 per i denominatori 4, 5 e 12, si ottengono rispettivamente i quozienti 15
Lavorare con Numeri Interi e Misti
Converti numeri interi e misti in frazioni improprie
Per risolvere problemi con numeri interi e misti, devi convertirli in frazioni improprie. Se hai un numero misto, moltiplica l’intero per il denominatore e somma il risultato al numeratore. Per convertire un intero in frazione impropria, scrivi 1 come denominatore.
Esempio: 8 + 2 1/4 + 2/3 = 8/1 + 9/4 + 2/3 = 32/4 + 9/4 + 8/12 = 128/12 + 27/12 + 8/12.
Trova il minimo comune denominatore
Usa uno dei metodi descritti in precedenza per trovare il minimo comune denominatore. Puoi elencare i multipli dei denominatori o scomporli in fattori primi e selezionare quelli comuni.
Esempio: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16 eccetera; 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 eccetera; Il minimo comune denominatore è 12.
Riscrivi l’equazione originale
Moltiplica ogni frazione per il fattore necessario a trasformare il denominatore originale nel minimo comune denominatore.
Esempio: (12/12) * (8/1) = 96/12; (4/4) * (9/4) = 36/12; (4/4) * (2/3) = 8/12.
Risolvi l’equazione riscritta
Dopo aver riscritto l’equazione originale, puoi procedere alle somme e sottrazioni senza ulteriori difficoltà. Alla fine, semplifica la frazione risultante, se possibile.
Esempio: 96/12 + 36/12 + 8/12 = 140/12 = 11 e 2/12 = 11 e 1/6.
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