Le espressioni con le frazioni sono costituite da termini rappresentati da frazioni, e possono includere varie operazioni aritmetiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Tali operazioni possono essere scandite tramite l’uso di parentesi. È essenziale per gli studenti della scuola media conoscere il metodo per semplificare le espressioni con le frazioni al fine di padroneggiare i numeri razionali (cioè le frazioni, ossia i numeri in Q) e affrontare le verifiche e le interrogazioni in modo sicuro e tranquillo.
Come semplificare le espressioni con le frazioni
Nel seguente articolo vedremo come semplificare le espressioni con le frazioni, concentrando l’attenzione sulle espressioni con addizioni e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni e tutte le operazioni comprese le potenze.
Espressioni con addizioni e sottrazioni
Per semplificare le espressioni con frazioni che presentano solo addizioni e sottrazioni, si seguono i seguenti passaggi:
- Seguire l’ordine delle parentesi: prima le tonde, poi le quadre e infine le graffe.
- Svolgere solo le operazioni all’interno delle parentesi tonde. In ciascuna di esse avremo delle somme e delle differenze di frazioni, che dovremo calcolare per prime.
- Per calcolare le somme e le differenze di frazioni (in ciascuna delle parentesi tonde) dobbiamo calcolare il denominatore comune delle frazioni. Il denominatore comune è il minimo comune multiplo dei singoli denominatori.
- Dopo aver calcolato tutte le somme e le differenze di frazioni che prima comparivano nelle varie parentesi tonde, controlliamo se si tratta di una frazione impropria o apparente, e se è così riduciamola ai minimi termini.
- Eliminare le parentesi tonde e fare attenzione ai segni:
- Se davanti alla parentesi tonde abbiamo un segno +, possiamo togliere le parentesi ricopiando semplicemente il contenuto della coppia di parentesi.
- Se davanti alla coppia di parentesi tonde abbiamo un segno -, possiamo togliere le parentesi tonde ricopiando il contenuto della coppia di parentesi e cambiandone il segno.
- Ripetere i passaggi da 2 a 5 dove però al posto delle parentesi tonde si lavora con le parentesi quadre.
- Ripetere i passaggi da 2 a 5 dove però al posto delle parentesi tonde si lavora con le parentesi graffe.
- Calcolare le somme e le differenze di frazioni.
Esempio
Consideriamo l’esempio seguente:
(3)/(4)+(2)/(12)-(7)/(6)+4
Il minimo comune multiplo tra i denominatori è 12, quindi avremo come frazione comune (9+2-14+48)/(12) = (45)/(12). Possiamo ridurla ai minimi termini e passare a (15)/(4) semplificando tutti i fattori in comune tra numeratore e denominatore.
Dopo aver eliminato le parentesi tonde e fatto attenzione ai segni, l’espressione diventa:
(15)/(4) + 4 = (31)/(4)
Espressioni con le frazioni – YouTube
Espressioni con moltiplicazioni e division
Caso 2: Espressioni con moltiplicazioni e divisioni
Il procedimento per semplificare le espressioni con frazioni che presentano solo moltiplicazioni e divisioni non differisce molto dal caso precedente. Partendo dalle parentesi tonde, calcoleremo le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui compaiono. Per eseguire la moltiplicazione tra due frazioni, utilizzeremo il metodo delle semplificazioni ad incrocio. Per eseguire una divisione tra due frazioni, riscriveremo la divisione tra le due frazioni come il prodotto tra la prima e la frazione reciproca della seconda.
Esempio
Consideriamo l’espressione seguente:
(3)/(2)×(4)/(9) : (8)/(9)×2
Eseguiamo dapprima il prodotto tra le prime due frazioni. Semplificando ad incrocio (il 3 con il 9 e il 4 con il 2), otteniamo (2)/(3).
Ci riconduciamo quindi a (3)/(2)×(4)/(9) : (8)/(9)×2 = (2)/(3):(8)/(9)×2. La divisione tra le prime due frazioni ci dà (moltiplicando la prima per la reciproca della seconda) (2)/(3)×(9)/(8) = (3)/(4).
Per concludere il calcolo, moltiplichiamo per 2 e otteniamo (3)/(4)×2 = (3)/(2), che è il risultato dell’espressione.
Caso 3: Espressioni con tutte le operazioni
Per semplificare le espressioni con frazioni che presentano tutte le operazioni, seguiremo l’ordine delle parentesi: prima le tonde, poi le quadre, poi le graffe. Eseguiamo dapprima l’elevamento a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni e infine addizioni e sottrazioni.
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Svolgimento di un’espressione con le frazioni
Calcoliamo il valore della seguente espressione:
[ (2)/(3)×(2-(5)/(4)-(3)/(8))^2-((7)/(3)-(9)/(4))^2 : (2)/(9) ] : (3)/(7) ×(1+(5)/(7))
Eseguiamo i passaggi visti in precedenza:
- Seguiamo l’ordine delle parentesi.
- Iniziamo dalle tre coppie di parentesi tonde e calcoliamo i denominatori comuni in ciascuna di esse. Nell’ultima coppia di parentesi tonde, il denominatore comune è 7.
- Calcoliamo i termini delle frazioni comuni.
- Eleviamo a potenza.
- Eliminiamo le parentesi tonde seguendo la regola dei segni.
- Non ci sono più parentesi tonde.
- Eseguiamo la moltiplicazione e la divisione all’interno delle parentesi quadre seguendo l’ordine delle operazioni.
- Eliminiamo la coppia di parentesi quadre.
- Dividiamo le due frazioni all’interno delle parentesi graffe.
- Eseguiamo gli ultimi calcoli e otteniamo il risultato.
Il risultato dell’espressione è 1/4.
Fonte: Wikipedia
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