FORMULE TRIGONOMETRICHE
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Il seguente formulario riassume le principali formule trigonometriche, che comprendono l’identità fondamentale della Trigonometria, le formule di bisezione e di duplicazione, le formule di Werner, le formule di Prostaferesi e le formule parametriche per seno, coseno e tangente. L’utilizzo di questo formulario può risultare utile in diverse applicazioni pratiche che coinvolgono la Trigonometria.
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Le principali formule trigonometriche
In matematica, le formule trigonometriche sono delle relazioni che riguardano le funzioni trigonometriche. Le formule trigonometriche sono ampiamente utilizzate in geometria, fisica e ingegneria. Qui di seguito sono elencate le formule trigonometriche più importanti:
Identità fondamentale della trigonometria
L’identità fondamentale della trigonometria è una delle formule più importanti della trigonometria. Essa permette di riscrivere il seno in funzione del coseno e viceversa.
sin2(α) + cos2(α) = 1
È possibile utilizzare questa formula in due diverse forme:
- sin2(α) = 1 – cos2(α)
- cos2(α) = 1 – sin2(α)
Formule per gli archi associati per seno e coseno
Le formule sugli angoli associati consentono di calcolare il valore di seno e coseno di particolari angoli, chiamati archi associati. Di seguito sono elencati i valori di seno e coseno degli archi associati:
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- sin((π/2)-α) = cos(α); cos((π/2)-α) = sin(α)
- sin((π/2)+α) = cos(α); cos((π/2)+α) = -sin(α)
- sin(π-α) = sin(α); cos(π-α) = -cos(α)
- sin(π+α) = -sin(α); cos(π+α) = -cos(α)
- sin((3/2)π-α) = -cos(α); cos((3/2)π-α) = -sin(α)
- sin((3/2)π+α) = -cos(α); cos((3/2)π+α) = sin(α)
- sin(-α) = -sin(α); cos(-α) = cos(α)
Fonte: https://www.matematika.it/formule-trigonometriche.html
Formule di Addizione, Sottrazione, Duplicazione & Co in goniometria 😉 – YouTube
Formule trigonometriche avanzate
Formule di sommazione degli angoli per seno, coseno, tangente
Le formule di sommazione degli angoli per seno, coseno e tangente permettono di riscrivere le funzioni goniometriche applicate alla somma o alla differenza di due angoli, in modo da disaccoppiare gli angoli. Di seguito sono riportate le formule di sommazione per seno, coseno e tangente:
- sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
- sin(α-β) = sin(α)cos(β) – cos(α)sin(β)
- cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)
- cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
- tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)tan(β)) dove α, β, α+β ≠ (π/2)+kπ, k ∈ Z
- tan(α-β) = (tan(α)-tan(β))/(1+tan(α)tan(β)) dove α, β, α-β ≠ (π/2)+kπ, k ∈ Z
Formule di duplicazione
Le formule di duplicazione permettono di esprimere le funzioni trigonometriche applicate al doppio di un angolo in modo alternativo. Di seguito sono riportate le formule di duplicazione:
- sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
- cos(2α) = cos2(α) – sin2(α)
- tan(2α) = (2tan(α))/(1-tan2(α)) dove α ≠ (π/4)+k(π/2) ∧ α ≠ (π/2)+kπ, k ∈ Z
Formule parametriche per funzioni trigonometriche
Le formule parametriche sono fondamentali nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche e in esercizi più avanzati. Di seguito sono riportate le formule parametriche per le funzioni trigonometriche:
- sin(α) = (2t)/(1+t2) dove t = tan(α/2) e α ≠ π+2kπ
- cos(α) = (1-t2)/(1+t2) dove t = tan(α/2) e α ≠ π+2kπ
- tan(α) = (2t)/(1-t2) dove t = tan(α/2) e α ≠ (π/2)+kπ ∧ α ≠ π+2kπ
- sin(α)sin(β) = (1/2)[cos(α-β)-cos(α+β)]
- cos(α)cos(β) = (1/2)[cos(α-β)+cos(α+β)]
- sin(α)cos(β) = (1/2)[sin(α-β)+sin(α+β)]
- sin(α)+sin(β) = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
- sin(α)-sin(β) = 2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)
- cos(α)+cos(β) = 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)
- cos(α)-cos(β) = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)
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